第6章 真空中的静电场 习题及答案
1. 电荷为?q和?2q的两个点电荷分别置于x?1m和x??1m处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷q0位于点电荷
?q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以
故 x?3?22
2. 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解：(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q?为负电荷，所以
故 q???3q 3(2)与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为R、电荷线密度为?1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为?2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dq??1dl，dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为
dE?dq 224??0(x?R) R O y ?1 ?2 l 根据电荷分布的对称性知，Ey?Ez?0 式中：?为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。
x
dq受下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dq??2dx，
到的电场力大小为
方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为 方向沿x轴正方向。
z
4. 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?。求： （1）圆心处O点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。
解：（1）在半圆环上取dq??dl??Rd?，它在O点产生场强大小为
dE?dq??d? ，方向沿半径向外 24π?0R4π?0R根据电荷分布的对称性知，Ey?0 故 E?Ex??，方向沿x轴正向。
2π?0R（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq??dx?为
qdx，dq在P点产生的场强大小LdE?dq?dx?，方向沿x轴负方向。
4??0x24??0x2 故 P点场强大小为 方向沿x轴负方向。
q O
x 6. 一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面L d 密度为?，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。 在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量dq???dS???2?rdl???2?Rsin?d?， dq在O点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
x r 2 P dE?xdq4??0(x?r)2232 ，方向沿x轴负方向
dl 利用几何关系，x?Rcos?，r?Rsin?统一积分变量，得 因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向，所以球心处电场强度的大小为 方向沿x轴负方向。
O R 7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为?，如图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为?????的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为
E1?σ，方向沿x轴正方向 2?0半径为R、电荷面密度?????的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）
E2?x?(1?)，方向沿x轴负方向
222?0R?x R O ??P x x 故 P点的场强大小为
方向沿x轴正方向。
8. (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电
荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
??q解：（1）由高斯定理?E?dS?求解。立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通
s?0量相等，所以通过各面电通量为
（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则通过边长2a的正方形各面的电通量?e?q 6?0q，如果它包含q所在顶点，24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?则?e?0。
9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和?2，试求空间各处场强。
解：如图所示，电荷面密度为?1的平面产生的场强大小为
?1E??1，方向垂直于该平面指向外侧 2?0电荷面密度为?2的平面产生的场强大小为
E?由场强叠加原理得
?2，方向垂直于该平面指向外侧 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向左 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?0两面之间，E?E1?E2??1面左侧，E?E1?E2??2面右侧，E?E1?E2?10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1和R2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为?（??0）。试求各区域的电场强度分布。
??1解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理?E?dS?S?0?qi得
当r?R1时，?qi?0，所以 当R1?r?R2时，?qi??(?r3??R13)，所以
434343当r?R2时，?qi??(?R23??R13)，所以
4311. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R1和R2（R2?R1），若大球面的面电荷密度为?，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
??1解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理?E?dS?S?0?qi得
当r?R2时，E?0，?qi???4?R2????4?R1?0，所以 （2）当r?R1时，?qi?0，所以
当R1?r?R2时，?qi????4?R1??4??R2，所以 负号表示场强方向沿径向指向球心。
222212. 一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为?，求板内外的场强。 解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到
??1平板中心的距离均为x，底面圆的面积为?S。由高斯定理?E?dS?S?0?qi得
当x?d时（平板内部），?qi???2x??S，所以 2d（平板外部），?qi???d??S，所以 2当x?13. 半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为?，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，应用高斯定理求解。
(1) 当r?R时， (2) 当r?R时，
?qi????r2l，所以
2q????Rl，所以 ?i14.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点
的电势。
解：取半径为r、dr的细圆环dq??dS???2?rdr，则dq在O点产生的电势为
圆盘中心O点的电势为
15. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为l。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是??和
??。取两环的轴线为x轴，坐标原点O离两环中心的距离均为，如图所示。求x轴上任一点的
电势。设无穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取dq，它在x轴上任一点P产生的的电势为 右边带电圆环在P产生的的电势为 同理，左边带电圆环在P产生的电势为 由电势叠加原理知，P的电势为
16. 真空中一半径为R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为?的正电荷，该区域内a点离球
l2心的距离为
12R，b点离球心的距离为R。求a、b两点间的电势差Uab 33解：电场分布具有轴对称性，以O为球心、作半径为r的同心球面为高斯面。由高斯定理
??1?E?dS?S?0?qi得
关于大学物理课后习题答案第六章
