[物理学10章习题解答]
10-3 两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图10-9所示的位置。如果证明两个小球的间距x可近似地表示为
图10-9
.
解 小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力mg、绳子的张力t和库仑力f。于是可以列出下面的方程式
,(1) ,(2) (3)
因为角很小，所以
, .
利用这个近似关系可以得到 ,(4) . (5)
将式(5)代入式(4)，得 ,
由上式可以解得 . 得证。
10-4 在上题中， 如果l = 120 cm，m = kg，x = cm，问每个小球所带的电量q为多大？
解 在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得 .
10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0 = 1031kg，它们的电量为 (1)求电子所受的库仑力；
(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？ (3)求电子绕核运动的速率。 解
(1)电子与质子之间的库仑力为 .
(2)电子与质子之间的万有引力为
1011m。质子的质量m =
10
27
角很小，试
kg，电子的质量m =
e =1019c。
. 所以 .
(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以 ,
从上式解出电子绕核运动的速率，为 .
10-6 边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。
图10-10
(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为 .
(2) f的方向如何？
解 立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如b角上的qb，它所受到的力 、 和 大小也是相等的，即
.
首先让我们来计算 的大小。
由图10-10可见， 、 和 对 的作用力不产生x方向的分量； 对 的作用力f1的大小为 ,
f1的方向与x轴的夹角为45。 对 的作用力f2的大小为 ,
f2的方向与x轴的夹角为0。 对 的作用力f3的大小为 ,
f3的方向与x轴的夹角为45。 对 的作用力f4的大小为 ,
f4的方向与x轴的夹角为， 。 于是 .
所受合力的大小为 .
(2) f的方向：f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为, .
、
和
，并且
10-7 计算一个直径为 cm的铜球所包含的正电荷电量。 解 根据铜的密度可以算的铜球的质量 .
铜球的摩尔数为 .
该铜球所包含的原子个数为 .
每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为正电荷为
.
10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0 引入该点，测定f/q0。问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e？
解 这样测得的f / q0是小于该点的电场强度e的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动， q0受力f减小了。
10-9 根据点电荷的电场强度公式 ,
当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？
解 当r 0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强
c
1
10
19
c，所以铜球所带的
公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。
10-10 离点电荷50 cm处的电场强度的大小为 n解 由于 , 所以有 .
10-11 有两个点电荷，电量分别为(2)作用在每个电荷上的力。
图10-11
解 已知 = 107c、 = 108c，它们相距r = 15 cm ，如图10-11所示。
(1) 在点b产生的电场强度的大小为 ,
方向沿从a到b的延长线方向。 在点a产生的电场强度的大小为 ,
107c和
108c，相距15 cm。求：
(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；
。求此点电荷的电量。
方向沿从b到a的延长线方向。 (2) 对 的作用力的大小为 ,
方向沿从b到a的延长线方向。 对 的作用力的大小为 .
方向沿从a到b的延长线方向。
10-12 求由相距l的 q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：
(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且r >>l；
图10-12
(2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且r >>l。 解
(1)在轴的延长线上任取一点p，如图10-12所示，该
点距轴心的距离为r。p点的电场强度为
.
在r >> l的条件下，上式可以简化为
图10-13
.(1) 令 ,(2)
这就是电偶极子的电矩。这样，点p的电场强度可以表示为
.(3)
(2)在轴的中垂面上任取一点q，如图10-13所示，该点距轴心的距离为r。q点的电场强度为
也引入电偶极子电矩，将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来： .
10-13 有一均匀带电的细棒，长度为l，所带总电量为q。求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l。 解
图10-14
生的电场强度为
(1)以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。在x轴上到o点距离为a处取一点p，在x处取棒元dx，它所带电荷元为dx ，该棒元到点p的距离为a x，它在p点产
.
整个带电细棒在p点产生的电场强度为
图10-15
,
方向沿x轴方向。
(2)坐标系如图10-15所示。在细棒中垂线(即y轴)上到o点距离为a处取一点p，由于对称性，整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。所以只需计算ey就够了。
仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为电场强度的y分量为
.
整个带电细棒在p点产生的电场强度为
,
方向沿x轴方向。
图10-16
10-14 一个半径为r的圆环均匀带电，线电荷密度为
。求过环心并垂直于环面的轴线上与
环心相距a的一点的电场强度。
解以环心为坐标原点，建立如图10-16所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。在环上取元段dl，元段所带电量为dq =
dl，在p点产生的电场强度的大小为
.
由于对称性，整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。所以只需计算ex就够了。所以
.
10-15 一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。
图10-17
解 取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在p点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在p点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即
,
的方向沿x轴方向。整个圆盘在p点产生的电场强度，可对上式积分求得 .
。求过盘心并垂直于盘面的
dx，它在p点产生
物理学第三课后习题答案第十章
