正弦函数的图像和性质
教学目标：
1、 知识与技能目标
通过研究正弦函数图像及其画法, 理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题
2、 过程与方法目标
通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解， 培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法 3、 情感态度与价值观
用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。 教学重点：
正弦函数的性质 教学难点：
正弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
ysin???MP，向线段MP叫做角α的正弦线，
r
2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：
把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线
1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y0?2?3?4?5?6?xf?x? = sin?x?
3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
3??(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0)
2
2
二、讲解新课：
(1)定义域：
正弦函数的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］， (2)值域
因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， 所以｜sinx｜≤1， 即 －1≤sinx≤1， 也就是说，正弦函数的值域是［－1，1］ 其中正弦函数y = sinx,x∈R
?①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1 2?②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1 2 (3)周期性
由sin(x＋2kπ)＝sinx，知：
正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 由此可知，2π，4π，??，－2π，－4π，??2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 注意：
1.周期函数定义域x∈M，则必有x+T∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2.“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数;
3.T往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,?,-2π,-4π,?都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π (4)奇偶性
由sin(－x)＝－sinx 可知：y＝sinx为奇函数 ∴正弦曲线关于原点O对称
(5)单调性 从y＝sinx，x∈［－当x∈［－
?3?2,2］的图象上可看出：
??，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1 22?3?当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1 22结合上述周期性可知：
??正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，
22?3?其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减
22函数，其值从1减小到－1 三、讲解范例：
例1 求使正弦函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么 解：令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z ∈R
?取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
2?由2x＝Z＝＋2kπ，
2?得x＝＋kπ
4即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是
?｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝ 4函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1 例2求函数y =
1 的定义域： 1?sinx 解：由1＋sinx≠0，得sinx≠－1
3?即x≠＋2kπ(k∈Z)
23?∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝
2)
例3求下列三角函数的周期 1. y=sin(x+
x??) 2. y=3sin(+)
253解：1. 令z= x+ 而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z)
f [(x+2π)+
x2?3??]=f (x+) ∴周期T=2π 33 2. 令z=+ 则
?5
f (x) =3sinz=3sin(z+2π)=3sin(+
x2?x?4??+2π)=3sin(?)
255=f (x+4π)
∴周期T=4π 四、课堂练习：
1． 求函数y=|sinx|的周期：
12． 直接写出函数y＝1+的定义域、值域：
sinx3． 求下列函数的最值： (1) y=sin(3x+)-1 (2) y=sin2x-4sinx+5
五、课堂小结
正弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些相关问题 六、课后作业：P57习题4.8的第1题的第13、小题，第2题的第134小题，第9题的14小题。 七、板书设计（略）
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中职数学基础模块上册《正弦函数的图象和性质》word教案
