辽宁省丹东市2019-2020学年第四次中考模拟考试数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.如图,?AFD?65?,CD∕∕EB,则DB的度数为( )
A.115° B.110° C.105° D.65°
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=﹣(a≠0)的两根之和( )
11x的图象如图所示,则方程ax2+(b+ )x+c=033
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
3.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,4),与x轴的一个交点是B(3,0),下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣2.0);⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确结论的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图,CE,BF分别是△ABC的高线,连接EF,EF=6,BC=10,D、G分别是EF、BC的中点,则DG的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为( )
A.
1 2B.5 5C.25 5D.
10 106.下列计算结果为a6的是( )
A.a2?a3 B.a12÷a2 C.(a2)3 D.(﹣a2)3
7.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A.正五边形 B.平行四边形 C.矩形 D.等边三角形
?x?m?28.若关于x的不等式组?无解,则m的取值范围( )
x?2m??1?A.m>3
B.m<3
C.m≤3
D.m≥3
9.如图,二次函数y=ax1+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称①abc>0;②9a+3b+c>0;③c>﹣1;④关于x的方程ax1+bx+c=0轴为直线x=1,且OA=OC.则下列结论:(a≠0)有一个根为﹣
1;⑤抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x1,y1),若x1<1<x1,且x1+x1>4,则ay1>y1.其中正确的结论有( )
A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
10.甲、乙两人参加射击比赛,每人射击五次,命中的环数如下表: 次序 甲命中的环数(环) 乙命中的环数(环) 第一次 6 5 第二次 7 10 第三次 8 7 第四次 6 6 第五次 8 7 根据以上数据,下列说法正确的是( ) A.甲的平均成绩大于乙 C.甲、乙成绩的众数相同
11.下列各运算中,计算正确的是( )
B.甲、乙成绩的中位数不同 D.甲的成绩更稳定
A.a12?a3?a4 C.?a?b??a2?b2
2B.3a2??3?9a6
D.2a?3a?6a2
12.二次函数y=-x2-4x+5的最大值是( ) A.-7
B.5
C.0
D.9
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数y?点,半径为(4?22)的圆内切于△ABC,则k的值为________.
k经过正方形AOBC对角线的交x
14.被历代数学家尊为“算经之首”的是中国古代算法的扛鼎之作中记载:“今有《九章算术》《.九章算术》五雀、六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?”
译文:“今有5只雀、6只燕,分别聚集而且用衡器称之,聚在一起的雀重,燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放,重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤.问雀、燕毎只各重多少斤?”设每只雀重x斤,每只燕重y斤,可列方程组为______. 15.因式分解:3x3﹣12x=_____.
16.某自然保护区为估计该地区一种珍稀鸟类的数量,先捕捉了20只,给它们做上标记后放回,过一段时间待它们完全混合于同类后又捕捉了20只,发现其中有4只带有标记,从而估计该地区此种鸟类的数量大约有______只.
17.如图,直线m∥n,以直线m上的点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线m,n于点B、C,连接AC、BC,若∠1=30°,则∠2=_____.
18.小华到商场购买贺卡,他身上带的钱恰好能买5张3D立体贺卡或20张普通贺卡.若小华先买了3张
3D立体贺卡,则剩下的钱恰好还能买______张普通贺卡.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)某校对六至九年级学生围绕“每天30分钟的大课间,你最喜欢的体育活动项目是什么?(只写一项)”的问题,对在校学生进行随机抽样调查,从而得到一组数据.如图是根据这组数据绘制的条形统计图,请结合统计图回答下列问题:该校对多少学生进行了抽样调查?本次抽样调查中,最喜欢篮球活动的有多少?占被调查人数的百分比是多少?若该校九年级共有200名学生,如图是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图,请估计全校六至九年级学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少?
x2?4x?4?2x?4???x?220.(6分)先化简:??,然后从?6?x?7的范围内选取一个合适的整x2?4x?2??数作为x的值代入求值.
21.(6分)凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元,售价20元,多买优惠,优势方法是:凡是一次买10只以上的,每多买一只,所买的全部计算器每只就降价0.1元,例如:某人买18只计算器,于是每只降价0.1×(18﹣10)=0.8(元),因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买,但是每只计算器的最低售价为16元.
(1)求一次至少购买多少只计算器,才能以最低价购买?
(2)求写出该文具店一次销售x(x>10)只时,所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)一天,甲顾客购买了46只,乙顾客购买了50只,店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多,请你说明发生这一现象的原因;当10<x≤50时,为了获得最大利润,店家一次应卖多少只?这时的售价是多少?
22. (8分)如图,Rt?ABC中,?ACB?90?,CE?AB于E,BC?mAC?nDC,D为BC边上一点.
(1)当m?2时,直接写出
CEAE? ,? . BEBE3DE. 2(2)如图1,当m?2,n?3时,连DE并延长交CA延长线于F,求证:EF?(3)如图2,连AD交CE于G,当AD?BD且CG?23.(8分)(1)问题发现:
m3AE时,求的值. 2n如图①,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为 ; (2)深入探究:
如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角 形AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:
AD=AC,C的一点,如图③,在正方形ADBC中,点M为BC边上异于B、以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中点,连接CN,若BC=10,CN=2,试求EF的长.
24.(10分)某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动,A、B两地相距10千米,甲班从A地出发匀速步行到B地,乙班从B地出发匀速步行到A地.两班同时出发,相向而行.设步行时间为x小时,甲、乙两班离A地的距离分别为y1千米、y2千米,y1、y2与x的函数关系图象如图所示,根据图象解答下列问题:直接写出y1、y2与x的函数关系式;求甲、乙两班学生出发后,几小时相遇?相遇时乙班离A地多少千米?甲、乙两班相距4千米时所用时间是多少小时?
25.(10分)如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90o,AB是⊙O的直径,⊙O交AC于点D,过点D的直线交BC于点E,交AB的延长线于点P,∠A=∠PDB.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若AB=4,DA=DP,试求弧BD的长;
(3)如图②,点M是弧AB的中点,连结DM,交AB于点N.若tanA=,求
的值.
26. (12分)计算:|3﹣1|+(﹣1)2018﹣tan60°
27.(12分)如图,已知AB为⊙O的直径,AC是⊙O的弦,D是弧BC的中点,过点D作⊙O的切线,分别交AC、AB的延长线于点E和点F,连接CD、BD. (1)求证:∠A=2∠BDF;
(2)若AC=3,AB=5,求CE的长.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.A
【解析】 【分析】
根据对顶角相等求出∠CFB=65°,然后根据CD∥EB,判断出∠B=115°. 【详解】 ∵∠AFD=65°, ∴∠CFB=65°, ∵CD∥EB,
∴∠B=180°?65°=115°, 故选:A. 【点睛】
本题考查了平行线的性质,知道“两直线平行,同旁内角互补”是解题的关键. 2.C 【解析】 【分析】
2设ax?bx?c?0(a?0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1?x2<0,a>0;设方程
1??ax2??b??x?c?0(a?0)的两根为m,n,再根据根与系数的关系即可得出结论.
3??【详解】
2解:设ax?bx?c?0(a?0)的两根为x1,x2,
∵由二次函数的图象可知x1?x2<0,a>0, ??b?0. a211??b?设方程ax??b??x?c?0(a?0)的两根为m,n,则3??b?1 m?n??3??aa3aQa?01?03a .
bQ??0a?m?m?0??故选C. 【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.3.B
【解析】 【分析】
通过图象得到a、b、c符号和抛物线对称轴,将方程ax2?bx?c?4转化为函数图象交点问题,利用抛物线顶点证明x?ax+b??a?b. 【详解】
由图象可知,抛物线开口向下,则a?0,c?0,
Q抛物线的顶点坐标是A?1,4?,
?抛物线对称轴为直线x???b??2a,
b?1, 2a?b?0,则①错误,②正确;
方程ax2?bx?c?4的解,可以看做直线y?4与抛物线y?ax?bx?c的交点的横坐标, 由图象可知,直线y?4经过抛物线顶点,则直线y?4与抛物线有且只有一个交点, 则方程ax2?bx?c?4有两个相等的实数根,③正确;
由抛物线对称性,抛物线与x轴的另一个交点是??1,0?,则④错误; 不等式x?ax?b??a?b可以化为ax2?bx?c?a?b?c,
2Q抛物线顶点为?1,4?,
?当x?1时,y最大?a?b?c, ?ax2?bx?c?a?b?c故⑤正确.
故选:B. 【点睛】
本题是二次函数综合题,考查了二次函数的各项系数与图象位置的关系、抛物线对称性和最值,以及用函数的观点解决方程或不等式. 4.C 【解析】 【分析】
连接EG、FG,根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG=FG=
1BC,因为D是EF中点,根据2等腰三角形三线合一的性质可得GD⊥EF,再根据勾股定理即可得出答案. 【详解】
解:连接EG、FG,
EG、FG分别为直角△BCE、直角△BCF的斜边中线, ∵直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半 ∴EG=FG=
11BC=×10=5, 22∵D为EF中点 ∴GD⊥EF, 即∠EDG=90°, 又∵D是EF的中点, ∴DE?11EF??6?3, 22在Rt?EDG中,
DG?EG2?ED2?52?32?4,
故选C. 【点睛】
本题考查了直角三角形中斜边 上中线等于斜边的一半的性质、勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质,本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD⊥EF是解题的关键. 5.B 【解析】 【分析】
连接CD,求出CD⊥AB,根据勾股定理求出AC,在Rt△ADC中,根据锐角三角函数定义求出即可. 【详解】
解:连接CD(如图所示),设小正方形的边长为1, ∵BD=CD=12?12=2,∠DBC=∠DCB=45°, ∴CD?AB,
在Rt△ADC中,AC?10,CD?2,则sinA?CD25. ??AC510
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理,锐角三角形函数的定义,等腰三角形的性质,直角三角形的判定的应用,关键是构造直角三角形. 6.C 【解析】 【分析】
分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得. 【详解】
A、a2?a3=a5,此选项不符合题意; B、a12÷a2=a10,此选项不符合题意; C、(a2)3=a6,此选项符合题意; D、(-a2)3=-a6,此选项不符合题意; 故选C. 【点睛】
本题主要考查幂的运算,解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则. 7.C 【解析】
分析:根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解. 详解:A. 正五边形,不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误. B. 平行四边形,是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项错误. C. 矩形,既是中心对称图形又是轴对称图形,故本选项正确. D. 等边三角形,不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误. 故选C.
点睛:本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断,我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形,这样在实际解题时,可以加快解题速度,也可以提高正确率. 8.C 【解析】 【分析】
根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m-1,即可得出m的取值范围. 【详解】
?x?m?2① , ?x?2m??1②?由①得:x>2+m,