2024高考北师版(理科)数学一轮复习讲义： 第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式

第六章 不等式、推理与证明

[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情] 考点 不等关系与不等式 不等式的证明 基本不等式 一元二次不等式及其解法 2016年 全国卷Ⅰ·T8 全国卷Ⅰ·T21全国卷Ⅱ·T21全国卷Ⅲ·T21 — — — 2015年 — 2014年 — 2013年 — 2012年 — 全国卷Ⅰ·T21全国卷Ⅱ·T17 全国卷Ⅰ·T24全国卷Ⅱ·T24 — — 全国卷Ⅱ·T17 全国卷— 全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅲ·T1 — 全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T1 Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T1 — 简单线性规划 合情推理与演绎推理 直接证明与间接证明 全国卷Ⅰ·T16全国卷Ⅲ·T13 全国卷Ⅰ·T15全国卷Ⅱ·T14 全国卷Ⅰ·T9全全国卷国卷Ⅱ·T9 Ⅱ·T9 全国卷·T14 — — 全国卷Ⅰ·T14 全国卷Ⅰ·T12 全国卷— 全国卷Ⅰ·T18全国卷Ⅰ·T20全国卷Ⅱ·T19全国卷Ⅱ·T21全国卷Ⅰ·T18全国卷Ⅱ·T20 全国卷Ⅱ·T18 Ⅰ·T18全国卷Ⅱ·T18全全国卷·T19 1

全国卷Ⅲ·T17全国卷Ⅲ·T19全国卷Ⅲ·T21 数学归纳法 [重点关注] — — — 国卷Ⅱ·T21 — — 1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．

2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．

3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．

[导学心语]

1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．

2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．

3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．

第一节 不等式的性质与一元二次不等式

[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对

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给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．

1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b?a－b>0； (2)a＝b?a－b＝0； (3)a

(1)对称性：a>b?bb，b>c?a>c；(单向性) (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；(双向性) a>b，c>d?a＋c>b＋d；(单向性) (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?ac

a>b>0，c>d>0?ac>bd；(单向性)

(5)乘方法则：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性) nn(6)开方法则：a>b>0?a>b(n≥2，n∈N)；(单向性) 11

(7)倒数性质：设ab>0，则ab.(双向性)

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式 Δ＝b－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0) 有两相异实根x1， 有两相等实根x1b＝x2＝－2a 3

2Δ>0 Δ＝0 Δ<0 没有实数根