2024年高考数学第一轮复习全套(基础)
讲义（完美版）
第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．
【基础练习】 1.
{(B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，求集合B.
分析：先化简集合A，由B?CRA?R可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.
解：（1）A?{x1?x?2}， ?CRA?{xx?1或x?2}.又B?CRA?R，A?CRA?R，可得A?B.
而B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，
?{x0?x?1或2?x?3}?B.
借助数轴可得B?A?{x0?x?1或2?x?3}?{x0?x?3}.
【反馈演练】
1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?A?B?UC=_________． 1．设集合A??2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合
P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是____8___个．
集
0合
,{x(y?,0),?)x0(．0
?y2?列,用x0?y举2Z法,表,23．设集合P?{xx?x?6?0}，Q?{x2a?x?a?3}. 示}（1）若P?Q?P，求实数a的取值范围； （2）若P?Q??，求实数a的取值范围； （3）若P?Q?{x0?x?3}，求实数a的值. 解：（1）由题意知：P?{x?2?x?3}，
P?Q?P，?Q?P.
2.设集合A?{xx?2k?1,k?Z}，B?{xx?2k,k?Z}，则A?B??．
{0,2} ． 3.已知集合M?{0,1,2}，N?{xx?2a,a?M}，则集合M?N?_______
4.设全集I?{1,3,5,7,9}，集合A?{1,a?5,9}，CIA?{5,7}，则实数a的值为____8或2___．
【范例解析】
例.已知R为实数集，集合A?{xx2?3x?2?0}.若B?CRA?R，
①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3．
②当Q??时，得?2?2a?a?3?3，解得?1?a?0．
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综上，a?(?1,0)?(3,??)．
（2）①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3；
（2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d.
分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题. 解： （1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题； 逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）
原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）
原命题：设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d；真命题； 逆命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b,c?d；假命题； 否命题：设a,b,c,d?R，若a?b或c?d，则a?c?b?d；假命题； 逆否命题：设a,b,c,d?R，若a?c?b?d，则a?b或c?d；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即?p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.
例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.
（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
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?2a?a?3,3②当Q??时，得?，解得a??5或?a?3．
2?a?3??2或2a?33综上，a?(??,?5]?[,??)．
2（3）由P?Q?{x0?x?3}，则a?0．
第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系． 2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】
1.下列语句中：①x2?3?0；②你是高三的学生吗？③3?1?5；④5x?3?6． 其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则
p ，否命题可表示为 若?p则?q，逆否命题可表示为若?q则?p；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题． 【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等；
（3）p：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同，q：方程x2?x?1?0的两实根的绝对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：
（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题.
（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p或q：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
（3）?p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）?p：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）?p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 否定词语 正面词语 等于 不等于 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 小于 不小于 任意的 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 … … p且q：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非p：方程x2?x?1?0的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)”，特称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)” . 解：
（1）?p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）?p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
否定词语 【反馈演练】
若b?M，则a?M 1．命题“若a?M，则b?M”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p：?x?R,sinx?1，则?p:?x?R,sinx?1.
3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.
ab若a?b，则2?2?1 ． 4．命题“若a?b，则2a?2b?1”的否命题为________________________
5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0； （2）设a,b?R，若a?0,b?0，则ab?0． 解：
（1）逆命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；真命题； 否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0且b?0；真命题； 逆否命题：设a,b?R，若a?0且b?0，则ab?0；真命题； （2）逆命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0,b?0；假命题； 否命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；假命题； 逆否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0；真命题．
第3 课时 充分条件和必要条件
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【考点导读】
1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合P?Q，则P是Q的充分条件； 若集合P?Q，则P是Q的必要条件； 若集合P?Q，则P是Q的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】
1.若p?q，则p是q的充分条件．若q?p，则p是q的必要条件．若p?q，则
（3）???是tan??tan?的___________________条件； （4）x?y?3是x?1或y?2的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围?大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
?x?2,?x?y?4,1解：（1）因为?结合不等式性质易得?，反之不成立，若x?，y?10，
2?y?2.?xy?4.?x?y?4,?x?2,?x?2,?x?y?4,有?，但?不成立，所以?是?的充分不必要条件. ?xy?4.?y?2.?y?2.?xy?4.（2）因为(x?4)x(?(x?4)x(??1)的0解集为[?1,4]，
x?4?0的解集为(?1,4，]故x?1x?4?0的必要不充分条件. 1?)是0x?1p是q的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知p:x?2，q:x?2，那么p是q的_____充分不必要___条件． （2）已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的____充要_____条件． （3）已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的___必要不充分__条件．
3.若x?R，则x?1的一个必要不充分条件是x?0．
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（3）当?????2时，tan?,tan?均不存在；当tan??tan?时，取???4，??5?，4但???，所以???是tan??tan?的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“x?1且y?2是x?y?3的____条件”，故
x?y?3是x?1或y?2的充分不必要条件.
?x?2,?x?y?4,（1）?是?的___________________条件；
?y?2.?xy?4.x?4（2）(x?4)(x?1)?0是?0的___________________条件；
x?1点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若?q则?p”的真假. 【反馈演练】
1．设集合M?{x|0?x?3}，N?{x|0?x?2}，则“a?M”是“a?N”的_必要不充分 条件．
充分不必要 2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件． 3．已知条件p:A?{x?Rx2?ax?1?0}，条件q:B?{x?Rx2?3x?2?0}．若?q是
?p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
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解：q:B?{x?R1?x?2}，若?q是?p的充分不必要条件，则A?B． 若A??，则a2?4?0，即?2?a?2；
?a2?4?0,5?2若A??，则??a?a2?4解得??a??2． ?a?a?4综上所述，
??2?x?2,2?52?a?2．
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