4 万有引力理论的成就
1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用. 学习目标 2.了解“计算天体质量”的基本思路. 3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路. 学考 选考 考试要求 c c
一、计算天体的质量 1.称量地球的质量
(1)思路：若不考虑地球自转，地球表面的物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg＝G2.
MmRgR2
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量.
G2.太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.
GMm4π2
(2)关系式：2＝m2r.
rT4πr(3)结论：M＝2，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量.
23
GT(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M. 二、发现未知天体
1
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.
1.判断下列说法的正误.
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(×)
(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，就可以求出太阳的质量.(×) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(×) (4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(√) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.(×) (6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(√) 2.已知引力常量G＝6.67×10
－11
N·m/kg，重力加速度g＝9.8 m/s，地球半径R＝6.4×10
2226
m，则可知地球的质量约为( ) A.2×10 kg C.6×10 kg 答案 D
2218
B.2×10 kg D.6×10 kg
24
20
一、天体质量和密度的计算
1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他“称量”的依据是什么？
(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度.
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力. (2)由mg＝G2，得：
MmRgR2M＝ GMM3gρ＝＝＝.
V434πGRπR3
2
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？
223
GM太m地4π4πr答案 由2＝m地2r知M太＝，可以求出太阳的质量，因此可以求出太阳的质量.
rTGT2
由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.
4 3πR太3
M太
天体质量和密度的计算方法
情景 重力加速度法 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 物体在表面的重力近似等于天体环绕法 行星或卫星绕中心 天体做匀速圆周运动 行星或卫星受到的万有引力充当思路 (如地球)与物体间的万有引力：Mm2π2向心力：G2＝m()r rTMmv2Mm2(G2＝m或G2＝mωr) rrrMmmg＝G2 R2天体质量 天体(如地球)质量：M＝gR G中心天体质量： 4πrrvrωM＝或M＝) 2(M＝23232GTGG天体密度 ρ＝M4πR33g＝ 4πRG3ρ＝M43πR3＝3πr3GT2R3(以T为例) 利用mg＝说明 GMm求M是忽略了天体R2由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量 自转，且g为天体表面的重力加速度 例1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为41
天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
201
A. B.1 C.5 D.10 10答案 B
3
Mm4π2r3
解析 由G2＝m2r得M∝2
rTT已知
r511T514M恒星133652
＝，＝，则＝()×()≈1，B项正确. r地20T地365M太阳204
例2 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G. (1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
3π?R＋h?答案 (1) 2 (2) 23
3π
3
GT1GT2R解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
23
Mm4π24πR(1)卫星贴近天体表面运动时有G2＝m2R，M＝
RT1GT21
43
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR
3
23
M4πR3π
故该天体的密度为ρ＝＝＝ 2.
V4GT1 23
GT ·πR1
3
(2)卫星距天体表面的高度为h时，有
2
Mm4πG2＝m 2(R＋h) ?R＋h?T2
4π?R＋h?M＝ 2
23
GT2
233
M4π?R＋h?3π?R＋h?ρ＝＝＝ 23.
V4GT2R 23
GT2·πR3
求解天体质量和密度时的两种常见错误
4πr1.根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝2是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的
23
GT质量.
2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，3πr比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝23误约
3
GTR分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
4
二、天体运动的分析与计算
1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向. 2.常用关系
2
Mmv24π2
(1)G2＝man＝m＝mωr＝m2r.
rrT(2)忽略自转时，mg＝G2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系
MmR2
Mmv2
(1)由G 2＝m得v＝
rr(2)由G GM，r越大，v越小. rGM，r越大，ω越小. r3
r3
，r越大，T越大. GMMm2
2＝mωr得ω＝rMm?2π?2
(3)由G 2＝m??r得T＝2π
r?T?
(4)由G MmGM2＝man得an＝2，r越大，an越小. rr例3 (2015·浙江10月选考科目考试)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射，如图1所示.在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图1
A.20颗小卫星的轨道半径均相同 B.20颗小卫星的线速度大小均相同 C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同 D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同 答案 C
GMmmv2?2π?22
解析 小卫星在不同轨道上运动时其轨道半径不同，由2＝＝mωr＝m??r，可知不
rr?T?
同圆轨道上小卫星的线速度大小不同，角速度不同，同一圆轨道上小卫星的周期相同. 针对训练 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西
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(浙江专用)高中物理第六章万有引力与航天4万有引力理论的成就学案新人教版必修2
