高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2
=-5}
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A??B或B??A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或B
A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1
个真子集 三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 类型 定 由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合,A是义 于B的元素所组成属于集合B的元素所S的一个子集,由S中的集合,叫做A,B的组成的集合,叫做A,B所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子交集.记作A?B(读的并集.记作:A?B集A的补集(或余集) 作‘A交B’),即(读作‘A并B’),即记作CSA,即 S
A?B={x|x?A,且x?B}. 韦 恩 图 示 ABA?B ={x|x?A,或x?B}). ABCSA={x|x?S,且x?A} S A 图1 图2 (CuA) ? (CuB) = Cu (A?B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A?B) A? (CuA)=U A? (CuA)= Φ. A?A=A 性 A?Φ=Φ A?B=B?A A?B?A 质 A?B?B A?A=A A?Φ=A A?B=B?A A?B?A A?B?B 例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x-2x+1,x?R},N={x|x≥0},则M与N的关系是 .
2
4.设集合A=x1?x?2,B=xx?a,若A?B,则a的取值范围是
????5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若求m的值
2
2
2
2
学实验做得正确得有
M= . B∩C≠Φ,A∩C=Φ,
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法
常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间
(3)区间的数轴表示. 5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x,x∈D,且x 2 作差f(x)-f(x); ○ 1 2 1 2 1 2