圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第5章 常微分方程
5.1 考点归纳
一、微分方程的基本概念与可解类型 1．微分方程的基本概念
定义1 含有自变量、未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程．
定义2 微分方程中未知函数的最高阶导数（或微分）的阶数，称为该微分方程的阶． 定义3 满足微分方程的函数，称为该微分方程的解．
定义4 在n阶微分方程中含有n个独立的任意常数的解y=?(x,c1,c2,L,cn)称为该微分方程的通解．
一般情况下，给定条件y(x0)=y0,y'(x0)=y1,L,y(n?1)(x0)=yn?1，就可以确定
c1,c2,L,cn，这些条件称为初始条件．
2．一阶微分方程的可解类型 （1）可分离变量的微分方程 ①基本定义 形如
dy=f(x)?g(y) （1） dx或
p1(x)p2(y)dx+q1(x)q2(y)dy=0 （2）
的微分方程称为可分离变量的一阶微分方程．
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ②可分离变量的微分方程的解法 a．分离变量
dy=f(x)dx； g(y)dy?g(y)=?f(x)dx+c．
b．两端积分
注 若g(y0)=0，则y=y0也是方程（1）的解． （2）一阶线性微分方程 ①基本定义 形如
dy+p(x)y=q(x) （3） dx的微分方程称为一阶线性微分方程．
dy+p(x)y=0时，称之为一阶线性齐次微分方程； dxdy当q(x)?0，即+p(x)y=q(x)时，称之为一阶线性非齐次微分方程．
dx当q(x)?0，即
②一阶线性微分方程的解法 一阶线性微分方程有两种解法： a．应用公式法
?p(x)dx??p(x)dxdx?； y=e?c+qxe()?????b．积分因子法 令u(x)=e?p(x)dx，将式（3）两端同乘以u（x），即得?ye???p(x)dx?'=qxe?p(x)dx，
()??两边积分就可求出方程的通解． ③一阶线性微分方程的性质
性质1 如果y*为一阶非齐次微分方程的一个特解，而y1为它对应的齐次微分方程的
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 一个非零解，则y=y*+cy1就是该一阶非齐次微分方程的一个通解．
****性质2 如果y1均为一阶非齐次微分方程的两个特解，则y=y1为它对应的齐,y2?y2次微分方程的一个特解．
3．三种题型的解法 （1）积分因子法 求解一阶非齐次方程： ①首先化为标准形
dy+p(x)y=q(x)； dxp(x)dxp(x)dxp(x)dxp(x)dx②在方程两端同时乘以e?，得y'e?，即+p(x)ye?=q(x)e??ye?p(x)dx?'=qxe?p(x)dx；
()????③两端同时积分即可．
（2）已知通解y=y0+c1y1，确定方程y'+p(x)y=q(x)． ①令y=y1，代入y'+p(x)y=0，求出p（x）；
②将非齐次方程的特解y=y0及p（x）代入y'+p(x)y=q(x)，最后解出q（x）． （3）已知y1,y2,L,yn是y'+p(x)y=q(x)的特解，求通解．
①适当确定Y=c1y1+c2y2+L+cnyn，使得c1+c2+L+cn=0（ci不全为0），则Y为齐次方程的解；
②适当确定Y0=c1y1+c2y2+L+cnyn，有c1+c2+L+cn=1，则Y0为非齐次方程的特解；
③Y=Y0+cY为非齐次方程的通解． 4．关于含变上限积分方程的求解
（1）将方程的两端同时对x求导或变形后求导．
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