第1课时 诱导公式二、三、四
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P23～P26的内容，回答下列问题．
(1)给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π＋α的终边与α的终边关于原点对称，sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．
(2)给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．
(3)给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：－α的终边与角α的终边关于x轴对称，sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．
2．归纳总结，核心必记 (1)特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①； ②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②； ③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
(2)诱导公式
1
公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α cos(α＋2kπ)＝cos α tan(α＋2kπ)＝tan_α tan(π＋α)＝tan_α tan(－α)＝－tan_α 公式二 sin(π＋α)＝－sin__α cos(π＋α)＝－cos_α 公式三 公式四
(3)公式一～四的应用
sin(－α)＝－sin_α sin(π－α)＝sin_α cos(－α)＝cos_α cos(π－α)＝－cos_α tan(π－α)＝－tan_α
记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值．
[问题思考]
(1)诱导公式一、二、三、四中的角α有什么限制条件？
提示：sin(α＋2kπ)，sin(π±α)，sin(－α)，cos(α＋2kπ)，cos(π±α)，cos(－α)公式π
中的α∈R；而tan(α＋2kπ)，tan(π±α)，tan(－α)中的α≠＋kπ，k∈Z．
2
(2)在△ABC中，你认为sin A与sin(B＋C) ，cos A与cos(B＋C)之间有什么关系？ 提示：∵A＋B＋C＝π，即B＋C＝π－A， 故sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)， cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
[课前反思]
(1)π＋α，－α，π－α的终边与α终边的关系： ；
(2)诱导公式一、二、三、四的内容： ；
(3)公式一～四的应用： ．
2
讲一讲
1．求下列三角函数值：
119π
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°； (3)cos.
6
[尝试解答] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－
3. 2
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. 119ππππ3(3)cos＝cos?20π－?＝cos?－?＝cos＝.
6626???6?
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
练一练
1．求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值． 解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°
＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°) ＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°
＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45° ＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45° ＝
6－3－42331
×－×－1＝. 22224
讲一讲
cos（－α）tan（7π＋α）2．(1)化简：＝________；
sin（π－α）sin（1 440°＋α）·cos（α－1 080°）
(2)化简＝________．
cos（－180°－α）·sin（－α－180°）[尝试解答] (1)sin α＝1. sin α
3
cos（－α）tan（7π＋α）cos αtan（π＋α）cos α·tan α＝＝＝
sin（π－α）sin αsin α
sin（4×360°＋α）·cos（3×360°－α）
(2)原式＝
cos（180°＋α）·[－sin（180°＋α）]＝
sin α·cos（－α）cos α＝＝－1.
（－cos α）·sin α－cos α答案：(1)1 (2)－1
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． 练一练
sin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ]2．化简：(k∈Z)．
sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）解：当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z， sin[（2n＋2）π＋θ]·cos[（2n＋2）π－θ]
则原式＝
sin（2nπ＋π－θ）·cos（2nπ＋π＋θ）＝＝
sin θ·cos θ
sin（π－θ）·cos（π＋θ）sin θ·cos θ＝－1；
sin θ·（－cos θ）
当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，
sin[（2n＋1）π＋θ]·cos[（2n＋1）π－θ]
则原式＝
sin（2nπ－θ）·cos（2nπ＋θ）＝＝
sin（π＋θ）·cos（π－θ）
sin（－θ）·cos θ－sin θ·（－cos θ）
＝－1.
－sin θ·cos θsin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ]综上，＝－1.
sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）
讲一讲
1
3．(1)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
311
A．1 B．－1 C. D．－ 33
1
(2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________．
3[尝试解答] (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
4
1
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.
31
(2)∵cos(α－55°)＝－＜0，且α是第四象限角．
3∴α－55°是第三象限角．
22
∴sin(α－55°)＝－1－cos2（α－55°）＝－.
3∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] 22
＝－sin(α－55°)＝.
322
答案：(1)D (2)
3
解决此类问题的方法是先根据所给等式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选择恰当的三角公式化简求值．
练一练
π1
3．(1)若sin(π＋α)＝，α∈?－，0?，则tan(π－α)等于( )
2?2?133
A．－ B．－ C．－3 D.
223
3
(2)已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是( )
54343A. B. C．－ D．－ 3434解：(1)因为sin(π＋α)＝－sin α， 1根据条件得sin α＝－，
2π
又α∈?－，0?，所以cos α＝
?2?
1－sin2α＝3
. 2
sin α13
所以tan α＝＝－＝－.
3cos α3所以tan(π－α)＝－tan α＝
3. 3
3
(2)因为sin α＝且α为第二象限角，
54
所以cos α＝－1－sin2 α＝－，
5sin α3
所以tan α＝＝－.
4cos α
5
高中数学人教A版必修四教学案：1.3 三角函数的诱导公式含答案
