零件参数设计的数学模型
指导老师 数学建模教练组
李俊（热9501） 罗建梅（热9502） 王震宇（供9502）
摘 要：本文基于Y偏离Y0 造成的损失和零件成本，根据原设计给定的标定
值和容差，使用网格法和随机搜索法,利用计算机编程计算产品分别为正品、次品、废品时的概率，进而分析产品是正品、次品、废品的概率的稳定性，得到较为精确且合理的结果，最后求出原设计的总费用（损失费+成本费）为万元。
本文通过分析参数x1,x2,…,x7对y的影响，在原设计的标定值附近找出一个使y在其附近的变化比较稳定的点，并使y=，再利用计算机仿真实验，综合判断容差等级方案，确定出比较理想的标定值和容差等级方案：最后确定的方案比原设定节约费用万元。
一、问题的重述
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行批量生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。
在进行零件参数设计时，由于零件组装产品的参数偏离预先设定的目标值，所以造成质量损失，偏离越大，损失越大；且零件的容差大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。
有一种离子分离器某参数（记作Y)由7个零件的参数(记作X1 ,X2 , …X7)决定，经验公式为：
XX1?2.62[1?0.36(4)?0.56]3/2(4)1.16XX3X2X2)0.85? Y=(1)(
X5X2?X1X6X7Y的目标值(记作Y0)为。若Y偏离?时，产品为次品，质量损失1000(元)；若Y偏离?时，
产品为废品，损失9000(元)。
零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值来表示 ，A等为?1%，B等为?5%，C等为?10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如下表(符号 / 表示无此等级零件): 标定值容许范围 C等 B等 A等 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 [,] [,] [,] [,] [,] [12,20] [,] / 20 20 50 50 10 / 25 50 50 100 / 25 25 / / 200 500 / 100 100 现进行成批生产,每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为： X1=，X2=，X3=，X4=，X5=，X6=16，X7=；容差均取最便宜的等级。 综合考虑Y偏离Y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数(包括标定值和容差)，并与原设计的总费用相比较。
二、模型假设及符号约定
模型假设
1．零件的总损失取决于各种类型的零件出现的概率； 2．零件的参数符合正态分布；
3．符合要求的零件只考虑自身成本，而不再考虑其它因素的影响。
符号约定
M 表示成批生产时每批产量的个数，此题为1000个；
a 表示产品为次品时的质量损失为1000元； b 表示产品为废品时的质量损失为9000元； ?I 表示第i个零件参数对应的均方差；
?i 表示一批零件第i个零件参数的平均值，即期望值； ?i 表示第i个零件（变量）的新值； Ri 表示变量Xi对?i的搜索区域； Kd 表示区域缩减系数，其值正数；
r 表示[0，1]之间服从均匀分布的伪随机数； k 表示随机概率的分布系数，是个正奇数； z y偏离y0的绝对值； P y偏离y0造成的损失； P’ 表示零件的成本；
Q y偏离y0造成的损失和零件成本
三、问题的分析
由于标志产品性能的参数是由零件的参数所决定的。而零件的参数包括标定值和容 差两部分。如果将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值。那么，根据3?原理，在其中的概率为：。显然，在此之外的概率为：。相比之下，在其之外的可以忽略不计。故此，在生产部门无特殊要求时，容差规定为均方差的3倍是合理的。由题意，我们还可以得到：容差与标定值的相对值可以判断容差的等级（进而可以确定零件的成本），即：
3?3?i3? A等：i?01< C等：i?03. B等：?.
?i?i?i进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。此时要考虑到产品的损失和零件成本，
而产品的损失和零件的成本都是由零件参数决定。所以，我们就先从产品的零件参数着手，逐步求优。
零件参数x1,x2,…,x7对y的影响由经验公式：
来确定，因y的目标值（记作y0）为。且已知：当y偏离y0?01.时，产品为次品，质量损失为1,000（元）；当y偏离y0?03。可见，选定.时，产品为废品，损失为9,000（元）
的标定值x1,x2,…,x7使得y的值接近，且在（x1,x2,…,x7）附近y的取值稳定在附近。所以，我们所设计零件参数，就要尽可能使产品为正品的数量多，次品的数量少、尽量使废品不出现，从而使得总费用（损失费+成本费）最小。 四、模型的建立
在原设计中，组成离子分离器的七个零件参数的标定值已知为：
X1=，X2=，X3=，X4=，X5=，X6=16，X7= 将以上标定值代入公式： 得出： y?17255 . 显然： y?y0?17255.?15.?0.2255大于且小于
由y的取值符合正态分布，可以看出在该标定值下，产品出现“次品”和“废品”的概率较大。
由于零件的容差均取最便宜的等级，故此，可得出七个零件参数可能的取值范围如下表： X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 取值 [,] [,] [,] [,] [,] [,] 范围 为了计算y偏离y0造成的损失和零件成本。我们给出了两个模型。
[,] 模型一
首先考虑y偏离y0造成的损失，由于给出的零件参数都有一定的容差，所以零件成本即可确定。进一步，由零件的参数决定的产品参数也在一定的范围之内。而要确定损失，首要问题就是要确定生产一批产品中正品、次品、废品出现的数量。在此之前，我们先对一批产品中正品、次品、废品的概率做一计算； 根据已知条件我们建立了以下的模型：
其中?ai,bi?为参数Xi标定值容许范围，wi为容差等级。
模型二
利用随机搜索法，由于零件的参数是随机的（参数）且符合正态分布，所以，我们构造出另一模型：
其中K为随机概率的分布系数，是个正奇数，以保证(2r?1)值可正可负，其值通常取1，3，5，7等，其中K的值越大，则所构成的函数就越窄，反之越缓。但是在K大于7时在多数情况下，对搜索不很有利，降低了收敛速度。所以，我们在对K取值时应尽量避开大于7的数。由正态分布的特点可知：当K=1时，显然是不可取的。但是，K的取值有规律，即x的取值范围（也就是零件的容差）越小，K就越大，反之越小。 五、模型求解及结果分析
模型一
我们利用网格法（亦称枚举法）求解，把划定的区域分成若干个“网格点”，然后就各个网格所在的产品规格做一分析，得出正品、次品、废品的概率，从而得出总的费用。于是得出求解方程 所以
从上式可以看出，求解需进行七次积分，如不利用计算机进行计算，显然很难得出结果， 此时我们就编程利用计算机求解。
在此，我们利用数学软件Mathematica编程（源程序及求解过程见附录1）求解得： P=（万元）
由于零件的等级均取最便宜的，所以，零件的成本为： P’=20（万元） 总的代价为：
P总=P+P’=+20=（万元） 在此，我们为了使模型具有可靠性，还利用了数学软件Mathematica在零件参数范围
之内随机取值得出结果。当随机循环比较小时，P总的变化比较大，即P总的值不稳定，而当随机循环次数比较大时，P总的值趋向一稳定值。我们把随机循环的次数为20万次与50万次的做一统计：
20万次时，P总=（万元）； 50万次时，P总=314（万元）。
由于在产品中只要出现一个废品，其费用就要增加9000元，而上面得出的结果只相差6000元。所以，可以验证以上得出的结果具有稳定性。
模型二
我们把模型二结合已知的数据，对模型
中的参数做一分析：把xi0记作零件参数的标定值，零件的容差决定了xi的取值范围。由RRKK于i?2r?1?正是用来确定xi的取值。而?2r?1?是(-1,1)之间的值。所以，我们把iKdKd3?记为。
2 我们编程（程序参见附录二：qbasic程序）利用计算机求得P正 、P次 、P废的概率分别为、、，求得在原设计中y 偏离y0造成的损失和零件成本共283000元。在编程进行的随机搜索法中，我们发现K和Kd的选择对算法效率有显着的影响。当靠近最优点时，增大K和减小Kd的值，可使P废的概率增大，经过一定次数的迭代，取Kd=1,K=3.这样我们的模型具有一定的稳定性和合理性。
由于我们所建模型时伪随机数r的个数不同，导致在不同次数的计算中，r的值不 能一一对应相等。r的个数越多，在我们所编程序中运行次数越多，即步长越小，搜索越细，相对来说计算结果就越精确，所以由于计算时间的限制我们的计算结果免不了会有误差存在。
从以上两个模型结果可以看出，计算结果相差无几，这也许是由于随机误差的原因，因为只要在产品中增加一个废品，那么总费用将增加9000元，而两模型的结果相差不到两万元，故此，这点误差是可以容忍的。
由于在模型二中，一些参数带有主观色彩，使得计算结果就不能确定其完全可靠，但经过模型一及计算机随机发生器产生的结果检验。而且，当我们计算的循环次数越多，其结果越稳定。故此，模型二还是有一定的可信度。
对于模型一，虽然比较严密，但是计算量特别大，我们设计的程序运行将近两个小时，而模型二只需10分钟就可以得出结果。
至于利用数学软件Mathematica随机发生器计算结果，只是对模型进行验证的一种方法。
六、重新设计零件参数
由给定的值计算的结果： y?17255 总费用的期望值万元。 . 可以看出，给定零件参数的标定值，其组成产品某参数在正品的范围之外，且总费用之大，简直不符合实际。对此，我们需重新设计零件参数，使得总费用的期望值降低。所以，我们需对原零件的参数做逐步微调。首先，我们应分析各零件的敏感度（零件参数对产品参数的影响程度）。先把确定情况下产品参数对零件参数的偏导做一计算。显然，偏导越大，其敏感度就越大。也就是首先应调整的参数。 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 一阶偏导 如果对每一个符合条件的值都给予计算，其计算量之大是不可估量的，也是不可能的。故此，我们利用逐步规划，然后上机运行得出标定值比较好的结果为： 即新设计的标定值： ★ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 当标定值一定的情况下，零件的等级组合有108种，下面我们就将一些组合列出， 并计算其总费用值。为了使正品的概率增大来减小质量损失，从而使总的损失减小。首 先我们取零件等级较高的情况，得出结果如下表： ★★ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等级 B B A B C C B P正= P次= P废= E(费用) =1000×(25+50+200+100+50+10+25+1000×+9000× =
从上面计算的结果可以看出，总的费用比给出的情况下减小了很多，我们为了进一步减小损失，把零件的容差调大，再计算其总费用如下表： ★★ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等级 B B B B C C B P正= P次= P废= E(费用)=1000×(25+50+50+100+50+10+25+1000×+9000×） =491334
上面计算结果表明：零件的等级降低后，其总费用显着减小，故此，我们再次把零件容差调大，再观察其总费用： ★★★ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等级 B B B C C C B P正= P次= P废= E(费用)=1000×(25+50+50+50+50+10+25+1000×+9000× =447446
此时，我们发现费用仍在减小，为了找到总损失最小的情况，继续调大零件容差，计算结果如下： ★★★★ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 等级 B C B C C C B 此时，计算得到的总费用近似为49万元。很明显，这时的总费用已经增加了，所以，在此之后的情况下，得出的总费用越来越高，故此，其调整方案也就越算越差，在此，我们就不一一列出。且对模型没有帮助。
零件参数设计的数学模型
