多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。 【数量关系】一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】按照题目的要求,求出最大值或最小值。
例1在火炉上烤饼,饼的两面都要烤,每烤一面需要3分钟,炉上只能同时放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟?
解先将两块饼同时放上烤,3分钟后都熟了一面,这时将第一块饼取出,放入第三块饼,翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼,翻过第三块饼,又放入第一块饼烤另一面,再烤3分钟即可。这样做,用的时间最少,为9分钟。 答:最少需要9分钟。
例2在一条公路上有五个卸煤场,每相邻两个之间的距离都是10千米,已知1号煤场存煤100吨,2号煤场存煤200吨,5号煤场存煤400吨,其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里,每吨煤运1千米花费1元,集中到几号煤场花费最少? 解我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到1号场总费用为1×200×10+1×400×40=18000(元) 集中到2号场总费用为1×100×10+1×400×30=13000(元)
集中到3号场总费用为1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元) 集中到4号场总费用为1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元) 集中到5号场总费用为1×100×40+1×200×30=10000(元) 经过比较,显然,集中到5号煤场费用最少。 答:集中到5号煤场费用最少。
北京 上海 重庆 800 500 武汉 400 300 例3北京和上海同时制成计算机若干台,北京可调运外地10台,上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台,给武汉调运6台, 若每台运费如右表,问如何调运才使运费最省? 解北京调运到重庆的运费最高,因此,北京 往重庆应尽量少调运。这样,把上海的4台全都调
往重庆,再从北京调往重庆4台,调往武汉6台,运费就会最少,其数额为 500×4+800×4+400×6=7600(元)
答:上海调往重庆4台,北京调往武汉6台,调往重庆4台,这样运费最少。
30、列方程问题
【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替,根据等量关系列出含有未知数的等式——方程,通过解这个方程而得到应用题的答案,这个过程,就叫做列方程解应用题。 【数量关系】方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
(1)审:认真审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量关系是什么。
(2)设:把应用题中的未知数设为Χ。
(3)列;根据所设的未知数和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。 (4)解;求出所列方程的解。
(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意。 (6)答:回答题目所问,也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时,一般只写出四项内容,即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的Χ值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出,但必须检验。 例1甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人? 解第一种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(90-Χ)人。 找等量关系:甲班人数=乙班人数×2-30人。 列方程:90-Χ=2Χ-30
解方程得Χ=40从而知90-Χ=50
第二种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(2Χ-30)人。 列方程(2Χ-30)+Χ=90
解方程得Χ=40从而得知2Χ-30=50 答:甲班有50人,乙班有40人。
例2鸡兔35只,共有94只脚,问有多少兔?多少鸡?
解第一种方法:设兔为Χ只,则鸡为(35-Χ)只,兔的脚数为4Χ个,鸡的脚数为2(35-Χ)个。根据等量关系“兔脚数+鸡脚数=94”可列出方程4Χ+2(35-Χ)=94解方程得Χ=12则35-Χ=23
第二种方法:可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡, 则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2) 所以兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只) 鸡数=35-12=23(只) 答:鸡是23只,兔是12只。
例3仓库里有化肥940袋,两辆汽车4次可以运完,已知甲汽车每次运125袋,乙汽车每次运多少袋?
解第一种方法:求出甲乙两车一次共可运的袋数,再减去甲车一次运的袋数,即是所求。940÷4-125=110(袋)
第二种方法:从总量里减去甲汽车4次运的袋数,即为乙汽车共运的袋数,再除以4,即是所求。(940-125×4)÷4=110(袋)
第三种方法:设乙汽车每次运Χ袋,可列出方程940÷4-Χ=125 解方程得Χ=110
第四种方法:设乙汽车每次运Χ袋,依题意得 (125+Χ)×4=940解方程得Χ=110 答:乙汽车每次运110袋。