24、溶液浓度问题
【含义】在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。
【数量关系】溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例1爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?
解(1)需要加水多少克?50×16%÷10%-50=30(克)
(2)需要加糖多少克?50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克) 答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。
例2要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?
解假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出 600×(30%-25%)=30(克)
这是因为30%的糖水多用了。于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样,每“换掉”100克,就会减少糖100×(30%-15%)=15(克)所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)
由此可知,需要15%的溶液200克。 需要30%的溶液600-200=400(克)
答:需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。
例3甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中,使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。
解由条件知,倒了三次后,甲乙两容器中溶液重量相等,各为500克,因此,只要算出乙容器中最后的含盐量,便会知所求的浓度。下面列表推算:
甲容器 原 有 乙容器 盐水500盐500×12%=60 水500 第一次把甲中一半倒入乙中盐水500÷2=250盐60÷2=盐水500+250=750盐30 30 后 第而次把乙中一半倒入甲中盐水250+375=625盐30盐水750÷2=375盐30÷2后 +15=45 =15 第三次使甲乙中盐水同样多 盐水500盐45-9=36 盐水500盐45-36+15=24 由以上推算可知,
乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500=4.8% 答:乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。 25、构图布数问题
【含义】这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。
例1十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。 解符合题目要求的图形应是一个五角星。 4×5÷2=10
因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。
例2九棵树苗子,要栽十行子,每行三棵子,请你想法子。 解符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形, 一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。 例3九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。
解符合题目要求的图形是一个三角形,每边栽4棵树,三个顶点上重复应减去,正好9棵。4×3-3=9
例4把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和,有几种写法?请设计一种图形,填入这七个数,每个数只填一处,且每条线上三个数的和都等于12。 解共有五种写法,即12=1+4+712=1+5+612=2+3+7 12=2+4+612=3+4+5
在这五个算式中,4出现三次,其余的1、2、3、5、6、7各出现两次,因此,4应位于三条线的交点处,其余数都位于两条线的交点处。
26、幻方问题
【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。
【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和=45÷3=15 五级幻方的幻和=325÷5=65
【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和),其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。
例1把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。
解幻和的3倍正好等于这九个数的和,所以幻和为 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15
九个数在这八条线上反复出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上),四角的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心数”地位重要,宜优先考虑。 设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15,所以(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4 即45+3Χ=60所以Χ=5
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们
2 9 4 7 5 3 6 1 8 分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别 在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。
例2把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中, 使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解只有三行,三行用完了所给的9个数,所以每行三数之和为 (2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18
假设符合要求的数都已经填好,那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18,我们看18能写成哪三个数之和: 最大数是10:18=10+6+2=10+5+3 最大数是9:18=9+7+2=9+6+3=9+5+4 最大数是8:18=8+7+3=8+6+4
最大数是7:18=7+6+5刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数,共用了四次。观察上述8个算式,只有6被用了4次,所以正中间方格中应填6。
9 4 5 2 6 10 7 8 3 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次,而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次,所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。
最后确定其它方格中的数。如图。 27、抽屉原则问题
【含义】把3只苹果放进两个抽屉中,会出现哪些结果呢?要么把2只苹果放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉;要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示:一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。 【数量关系】基本的抽屉原则是:如果把n+1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。
抽屉原则可以推广为:如果有m个抽屉,有k×m+r(0<r≤m)个元素那么至少有一个抽屉中要放(k+1)个或更多的元素。
通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些,那么至少有一个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。
【解题思路和方法】(1)改造抽屉,指出元素; (2)把元素放入(或取出)抽屉; (3)说明理由,得出结论。
例1育才小学有367个1999年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的?
解由于1999年是润年,全年共有366天,可以看作366个“抽屉”,把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中,至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
例2据说人的头发不超过20万跟,如果陕西省有3645万人,根据这些数据,你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗?
解人的头发不超过20万根,可看作20万个“抽屉”,3645万人可看作3645万个“元素”,把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中,得到
3645÷20=182……5根据抽屉原则的推广规律,可知k+1=183 答:陕西省至少有183人的头发根数一样多。
例3一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同。其中红球10个,白球9个,黄球
8个,蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个球,才能保证至少有4个球颜色相同?
解把四种颜色的球的总数(3+3+3+2)=11看作11个“抽屉”,那么,至少要取(11+1)个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
答;他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
28、公约公倍问题
【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。 【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数,再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法,最常用的是“短除法”。
例1一张硬纸板长60厘米,宽56厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少? 解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60和56的最大公约数是4。 答:正方形的边长是4厘米。
例2甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶,甲车行一周要36分钟,乙车行一周要30分钟,丙车行一周要48分钟,三辆汽车同时从同一个起点出发,问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?
解要求多少时间才能在同一起点相遇,这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间,所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720。 答:至少要720分钟(即12小时)这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3一个四边形广场,边长分别为60米,72米,96米,84米,现要在四角和四边植树,若四边上每两棵树间距相等,至少要植多少棵树?
解相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数,要使植树的棵数尽量少,须使相邻两树的间距尽量大,那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。 所以,至少应植树(60+72+96+84)÷12=26(棵) 答:至少要植26棵树。
例4一盒围棋子,4个4个地数多1个,5个5个地数多1个,6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间,求棋子总数。
解如果从总数中取出1个,余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60,又知棋子总数在150到200之间,所以这个总数为 60×3+1=181(个) 答:棋子的总数是181个。 29、最值问题
【含义】科学的发展观认为,国民经济的发展既要讲求效率,又要节约能源,要少花钱