江苏省百校联考2020届高三第五次考试
数学试题
2020．5
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A＝{1，2}，AUB＝{1，2，3}，则集合中B必定含有的元素是 ． 2．已知复数i(a?i)的模为1（其中i是虚数单位），则实数a的值为 ． 3．下图是一个算法的流程图，则输出k的值是 ． 4．已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是 ．
x2y2?1(a?0)的左、右顶点与点(0，3)构成等 5．已知双曲线2?a9腰直角三角形，则该双曲线的渐近线方程是 ．
6．已知函数y?tanx与y?sin(3x??)(0????)，它们图象有一
个交点的横坐标为
?，则?的值是 ． 第3题 47．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列?an?满足
a1?a2?1，an?2?an?an?1，现从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概
率是 ．
8．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，且a2a4?a3?0，S3??1，则an? ． 9．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥B?A1C1D的体积是 ． 10．已知角?，?满足tan??2tan?，若sin(???)?3，则sin(???)的值是 ． 51，则a的值为 ． 811．若函数f(x)?(x?a)?x在区间[1，9]上的最小值为
x2y212．已知A为椭圆2?2?1(a＞b＞0)上一点，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的
ab右焦点，且以AB为直径的圆过F，当∠ABF＝
1
?，该椭圆的离心率是 ． 613．已知x，y均为正数，且x?y1?1，则?8y的最小值为 ． yx214．已知当x＞0，函数f(x)?alnx(a＞0)，且f(x)?f(?x)，若g(x)?2x?m(m＞0)
的图像与f(x)的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
r?ur在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知C＝，m＝(sinA，﹣1)，n6urr＝(cosB，1)，且m∥n．
（1）求A的值；
（2）若点D为边BC上靠近B的四等分点，且AD＝21，求△ABC的面积． 16．（本小题满分14分）
在三棱锥A—BCD中，E，F分别为AD，DC的中点，且BA＝BD，平面ABD⊥ADC． （1）证明：EF∥平面ABC； （2）证明：CD⊥BE．
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17．（本小题满分14分）
一胸针图样由等腰三角形OAB及圆心C在中轴线上的圆弧AB构成，已知OA＝OB＝1，∠ACB＝
2?．为了增加胸针的美观程度，设计师准备焊接三条金丝线CO，CA，CB，3且AC长度不小于OC长度，设∠AOC＝?．
（1）试求出金丝线的总长度L(?)，并求出?的取值范围；
（2）当?为何值时，金丝线的总长度L(?)最小，并求出L(?)的最小值．
18．（本小题满分16分）
3x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点F的坐标为(1，0)，点P(1，)为椭圆C
ab2上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为?3的直线l交椭圆C于M，N两点，且
uuuuruuuruuurrOM?ON?OH?0，求△MNH的面积．
3
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?x?x?ax(a?R)，g(x)?xlnx． （1）求曲线g(x)在x＝1处的切线方程；
（2）对任意x?(0，a]，f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （3）当x?(0，a]时，试求方程f(x)?g(x)的根的个数． 20．（本小题满分16分）
已知数列?an?满足a1?32?an1?n?N，an?1?，． ?1?an2?（1）若??1．①求数列?an?的通项公式；②证明：对?n?N， a1a2a3?a2a3a4?L?anan?1an?2?n(n?5)．
12(n?2)(n?3)?（2）若??2，且对?n?N，有0?an?1，证明：an?1?an?2?1． 8
4
附加题
2??1k?2?121．已知矩阵A=?满足A=?，求A?1． ???01??01?
1?x?t?2?22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)，以直角坐标系xOy
?y?1+3t??2的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为??2cos(???3)．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．
23．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD，若棱AB，AD，AP两两
ruuuruuu15垂直，长度分别为1，2，2，且向量PC与BD夹角的余弦值为．
15（1）求CD的长度；
（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
5
江苏省百校联考2020届高三第五次考试数学试题解析(含附加题)
