机械工程测试技术基础习题解答
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，
并与表1-1对比。
x(t) A … 0 -A 图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
… t
T0??A (??t?0)??2. x(t)??T? A (0?t?0)??2积分区间取（-T/2，T/2）
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cne?jn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, L。 ??n???nA?没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn2A/π 2A/π | 2A/52A/3π 2A/3π 2A/5π φn π/2 ω0 3ω0 5ω0 ω -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/相频图 2
周期方波复指数函数形式频谱图
-5πω 0 -3ω0 -ω0 ω0 3ω0 5ω0 ω 幅频图
1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。
2x1T1T解答：μx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0T0T?T20T2x04x02x02?sinωtdt??cosωt0?
TωTωπ 1-3 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。 解答：
|X(f)| A/φ(f) π/2 0 f 0 f -π/单边指数衰减信号频谱图2
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
u(t) 1 t 0 t b)阶跃函数
图1-25 题1-4图
a)符号函数的频谱
t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求
此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t)
1
|X(f)| 0
φ(f) π/2 0 -π/2 t 0 f -1
x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
f 符号函数频谱
b)阶跃函数频谱
在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数
结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
|U(f)| φ(f) π/2 0 -π/2 (1/2) 0
f f 单位阶跃信号频谱
解法2：利用冲激函数 根据傅里叶变换的积分特性
-T 1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。
??cosω0tx(t)????0t?Tt?Tx(t) 1 0 T t -1 w(t) 1
-T 0 图1-26 被截断的余弦函数
T t
解：x(t)?w(t)cos(2?f0t)
w(t)为矩形脉冲信号
11w(t)ej2?f0t?w(t)e?j2?f0t 22所以x(t)?根据频移特性和叠加性得：
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱
线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱
f0 f
1-6 求指数衰减信号x(t)?e?atsinω0t的频谱
x(t) 指数衰减信号
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