机械振动学总结
第
一
章
机
械
振
动
学
基
础
第二节 机械振动的运动学概念 第三节
机械振动是种特殊形式的运动。在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t变化的规律。用函数关系式
来描述其运动。如果运动的函数值，对于相差常数T的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数
1来表示，则这一个运动时周期运动。其中T的最小值叫做振动的周期，f?定义为
T振动的频率。简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动
物体作简谐振动时，位移x和时间t的关系可用三角函数的表示为 式中：A为振幅，T为周期，?和?称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度?称为简谐振动的角频率 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即
可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。图P6 旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频率? 若用复数来表示，则有
z?Aej(?t??)z?Acos(?t??)?jAsin(?t??)
用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。因为复指数ej?t对时间求导一次相当于在其前乘以j?，而每乘一次j，相当于有初相角
?。 2二．周期振动
满足以下条件：
1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在； 2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有
式中
22 An?an tan?n??bnan bn 三、简谐振动的合成
一、同方向振动的合成 1.俩个同频率的简谐振动
x2?A2sin(?t??2) ，x2?A2sin(?2t??2)
它们的合成运动也是该频率的简谐振动 2.俩个不同频率振动的合成 若?1??2，则合成运动为
若?1??2 ，对于A1?A2?A ,则有
上式可表示为
二、两垂直方向振动的合成 1.同频率振动的合成 如果沿x方向的运动为 沿y方向的运动为 2不同频率振动的合成 对于俩个不等的简谐运动
它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。
第三节 构成机械运动的基本元素
构成机械振动的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动继续下去的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡位置的性质。
第四节 自由度与广义坐标
系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束条件数之差。对于n个质点组成的质点系，个质点的位移可用3n个直角坐标来描述。当有r个约束条件时，约束方程为
为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标 来代替3n个直角坐标，这种坐标叫做广义坐标。
第二章 单自由度系统
第二节 无阻尼自由振动
单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程
2?k/m，系统的运动方程可表示为 令wn函数x(t)必须具有这样的性质：在微分过程中不改变其形式。因而假定方程的解为 的形式是合理的。式中B和?是待定常数，代入方程中 方程决定于
方程叫做系统的特征方程或频率方程，它有一对共轭虚根：?1?j?n，?2??j?n，叫做系统的特征值或固有值，方程的俩个独立的特接分别为 式中B1和B2是任意常数。方程的通解为
x(t)?B1ej?nt?B2e?j?ntx(t)?(B1?B2)cos?nt?j(B1?B2)sin?nt方程的通解从物理意义上说，表达了系统 x(t)?D1cos?nt?D2sin?nt对于确定的初始条件，系统发生某种确定的运动为
它是由俩个相同频率的简谐运动所组成。再将这俩个相同频率的简谐运动合成为 式中
A为振幅，?为初相角。线性系统自由振动振幅的大小只决定于施加给系统的初始条件和系统本身的固有频率，而与其他因素无关。线性系统自由振动的频率?n?k/m只决定于系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率或无阻尼固有频率。
第三节 能量法
一个无阻尼的弹簧系统做自由振动时，由于不存在阻尼，没有能量从系统中散逸，没有能量输入，系统机械能守恒。 T+U=E=常数
1111最大动能和最大势能为 Tmax?mwn2A2,Umax?kA2 由于mwn2?A2kA2，并定义
2222Tm?Umaxk12。 ?kA，故可得wn?2Tmm第四节 有阻尼自由振动 第五节
在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小，这种自由振动叫做有阻尼自由振动。 最常见的阻尼有粘性阻尼、库伦阻尼或干摩擦阻尼和结构阻尼。 一、粘性阻尼
的一个粘性阻尼器，直径为d，长为L的活塞，带有俩个直径为D的小孔，油的粘度为?，密度为?。
作用于活塞上阻力的大小近似地表示为
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与速度成正比，方向和速度相反。这是，阻尼系数为 二、粘性阻尼自由振动
具有粘性阻尼的单自由度系统的理论模型，粘性阻尼力与相对速度成正比， 应用牛顿定律，可列出系统的运动方程 其中无阻尼固有频率和阻尼比分别是?n?2??x?2??nx??nx?0 动力学方程：?kc ,??m2km系统的特征方程或频率方程
方程的特征值的表达式可写成 当?<1这时方程的通解可表示为
实际阻尼小于临界阻尼的系统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
当?=1时，系统的阻尼系数等于系统的临界阻尼系数，这种系统叫做临界阻尼系统，系统的运动可表示为
当?>1，这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为俩个实数，即 三、结构阻尼
内摩擦所消耗的能量等于滞回环所围面积 其中k是等效弹簧常数，A是振幅， 等效粘性阻尼系数是
其中?是无量纲的结构阻尼常数
第五节简谐激励作用下的强迫振动 第六节
一、简谐激励力作用下的强迫振动
单自由度系统在简谐激励力作用下的强迫振动的理论模型系统的运动方程为
式中F为激励力振幅，w为激励频率。方程是一个非齐次方程，在一般情况下，还受
?(0)?x0的作用，实部和虚部分别与F0coswt和F0sinwt相对应 到初始条x(0)?x0，x受力分析
振动微分方程为
X为复数变量，分别与F0coswt和F0sinwt相对应，对于此方程的通解等于齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，即暂态响应和稳态响应 假定方程的特解为
式中X为复振幅，代入方程中，有
式中X为振幅，是复振幅X的模，继而得到方程的相角?，是复振幅X的幅角，有 因此，方程的特解为
对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为 因此，对于弱阻尼系统，方程的通解为
定义强迫振动的振幅X与Xo的比为放大因子，用M表示，则有 式中Xo=F/k,r=w/w,Xo叫做等效静位移，r叫做频率比。
n
（类似）
当r→0是，M→1，而与阻尼无关，这意味着，当激励频率接近于零时，振幅与静位移相近。
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