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《离散数学》题库及答案 

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《离散数学》题库与答案 一、选择或填空

(数理逻辑部分)

1、下列哪些公式为永真蕴含式?( A )

(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P?(P?Q)=>?P

答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别)

2、下列公式中哪些是永真式?( )

(1)(┐P?Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P?Q)→P (4)P→(P?Q)

答:(2),(3),(4) 可用蕴含等值式证明

3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P?Q (2) P?Q=>P (3) P?Q=>P?Q

(4)P?(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P?(P?Q)=>?P

答:(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式

4、公式?x((A(x)?B(y,x))? ?z C(y,z))?D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。

答:x,y, x,z(考察定义在公式?x A和?x A中,称x为指导变元,A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为

约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y,x)和?z C(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x为自由变元)

5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧!

1

答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是 (4) 是,T (5) 不是 (6) 不是 (命题必须满足是陈述句,不能是疑问句或者祈使句。)

6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答:所有人都不是大学生,有些人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词“?换成存在?,?换成?”,然后将命题的结论否定,“且变或 或变且”)

7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校

答:(1) ?Q?P (注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个形式的) (2) P??Q (3) P??Q (4)?P?Q

8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)

答:(1)对任一整数x存在整数 y满足x+y=0 (2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0

9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:

(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )

答:(1) F (反证法:假若存在,则(x- 1)*y=0 对所有的x都成立,显然这个与前提条件相矛盾) (2) F (同理) (3)F (同理) (4)T(对任一整数x存在整数 y满足条件 y=2x 很明显是正确的)

10、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )

(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立

答:(1)(在某个体域中满足不是奇数就是偶数,在整数域中才满足条件,而自然数子整数的子集,当然满足条件了)

11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。

2

答:2不是偶数且-3不是负数。

12、永真式的否定是( )

(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能

答:(2)(这个记住就行了)

13、公式(?P?Q)?(?P??Q)化简为( ),公式 Q?(P?(P?Q))可化简为( )。

答:?P ,Q?P(考查分配率和蕴含等值式知识的掌握)

14、谓词公式?x(P(x)? ?yR(y))?Q(x)中量词?x的辖域是( )。

答:P(x)? ?yR(y)(一对括号就是一个辖域)

15、令R(x):x是实数,Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为( )。

答:??x(R(x)?Q(x))

(集合论部分)

16、设A={a,{a}},下列命题错误的是( )。

(1) {a}?P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}?P(A) (4) {{a}}?P(A)

答:(2) ({a}是P(A)的一个元素)

17、在0( )?之间写上正确的符号。

(1) = (2) ? (3) ? (4) ?

答:(4)(空集没有任何元素,且是任何集合的子集)

18、若集合S的基数|S|=5,则S的幂集的基数|P(S)|=( )。

答:32(2的5次方 考查幂集的定义,即幂集是集合S的全体子集构成的集合)

19、设P={x|(x+1)2?4且x?R},Q={x|5?x2+16且x?R},则下列命题哪个正确( )

(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q

答:(3)(Q是集合R,P只是R中的一部分,所以P是Q的真子集)

20、下列各集合中,哪几个分别相等( )。

3

(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c} (5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}

答:A1=A2=A3=A6, A4=A5(集合具有无序性、确定性和互异性)

21、若A-B=Ф,则下列哪个结论不可能正确?( ) (1) A=Ф (2) B=Ф (3) A?B (4) B?A

答:(4)(差集的定义)

22、判断下列命题哪个为真?( )

(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集

(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B,则A=B

答:(1)(考查空集和差集的相关知识)

23、判断下列命题哪几个为正确?( )

(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}} (4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}

答:(2),(4)

24、判断下列命题哪几个正确?( )

(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}?Ф (4) 若A为非空集,则A?A成立。

答:(2)

25、设A∩B=A∩C,A∩B=A∩C,则B( )C。

答:=(等于)

26、判断下列命题哪几个正确?( ) (1) 若A∪B=A∪C,则B=C (2) {a,b}={b,a} (3) P(A∩B)?P(A)∩P(B) (P(S)表示S的幂集) (4) 若A为非空集,则A?A∪A成立。

答:(2)

27、A,B,C是三个集合,则下列哪几个推理正确:

(1) A?B,B?C=> A?C (2) A?B,B?C=> A∈B (3) A∈B,B∈C=> A∈C

答:(1) ((3)的反例 C为{{0,1},0} B为{0,1},A为1 很明显结论不对)

4

(二元关系部分)

28、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2

求(1)R (2) R-1

答:(1)R={<1,1>,<4,2>} (2) R?1={<1,1>,<2,4>}(考查二元关系的定义,R?1为R的逆关系,即R?1={}| ∈R)

29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )

答:A上的恒等关系

30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?( )

答:自反性、对称性和传递性

31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?( )

答:自反性、反对称性和传递性(题29,30,31全是考查定义)

32、设S={1,2,3,4},A上的关系R={〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,3〉,〈3,4〉} 求(1)R?R (2) R-1 。

答:R?R ={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉}(考查F?G ={|?t(∈F?

∈G)})

R-1 ={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}

33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R= {( )}

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}

34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=2y},求(1)R (2) R-1 。

答:(1)R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R?1={<1,1>,<2,4>,(36>}

35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2},

求R和R-1的关系矩阵。

5

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