nA0Tn(x)???(Akcoskx?Bksinkx)2k?1解：因为是以2?为周期的光滑函数，所以可展为
傅里叶级数，
由系数公式得
nA0a0?Tn(x),1???(Akcoskx?Bksinkx),1?A02k?1，
当k?1时，
n?Ak?nA0???(Akcoskx?Bksinkx),coskx??k2k?1?0k?n，
n?Bk?nA0???(Akcoskx?Bksinkx),sinkx??k2k?1?0k?n，
nA0Tn(x)???(Akcoskx?Bksinkx)(??,??)2k?1故在，的傅里叶级数就是其本身．
2 设f为[??,?]上可积函数，a0,ak,bk(k?1,2,L,n)为f的 傅里叶系数，试证明，当A0?a0,Ak?ak,Bk?bk(k?1,2,L,n)时， 积分? ?? ??f(x)?Tn(x)?2dx取最小值，且最小值为
2n?a022?f(x)dx???(a?b????kk)?? ???2k?1?． ?2上述Tn(x)是第1题中的三角多项式,A0,Ak,Bk为它的傅里叶系数．
a0?f(x)????ancosnx?bnsinnx?2n?1证：设，
nA0Tn(x)???(Akcoskx?Bksinkx)2k?1，
且A0?a0,Ak?ak,Bk?bk(k?1,2,L,n)， 因为? ?? ??f(x)?Tn(x)??? ? ??2dx
? ??f2(x)dx?2?f(x)Tn(x)dx??Tn2(x)dx ?? ?，
而
? ? ?? ?nA0a0f(x)Tn(x)dx??????Akak?Bkbk?2k?1， 2nnA022T(x)dx???A?B???kk? ??2k?1，
所以? ??积分? ?? ? ??f(x)?Tn(x)?22dx
故当A0?a0,Ak?ak,Bk?bk(k?1,2,L,n)时，
?f(x)?Tn(x)?dx取最小值，且最小值为
2n?a022?f(x)dx???(a?b????kk)?? ??2k?1??． ?23 设f为以2?周期，且具有二阶连续可微的函数，
bn?1?? ? ?????f(x)sinnxdx, bn1?? ? ??f??(x)sinnxdx，
若级数???bn绝对收敛，则
?n?1??1?????bn??2??bn2?n?1?．
证：因为f(x)为以2?周期，且具有二阶连续可微的函数， 所以
??n???bn1?? ? ??f??(x)sinnxdx ?
．
?f(x)cosnx ???n2?? ? ??f(x)sinnxdx?n2bn1?n?1,???n?1,bn?2?bnn即，从而
1?1???bn??2?bn?2?n?
又
?bn???绝对收敛，nbn12收敛，
所以n?1??收敛，且
?1???????2??bn2?n?1?．
故结论成立．
4 设周期为2?的可积函数?(x)与?(x)满足以下关系式 (1) ?(?x)??(x)； (2) ?(?x)???(x)． 试问?的傅里叶系数an,bn与?的傅里叶系数?n,?n有什么关系？
a0??(x)????ancosnx?bnsinnx?2n?1解：设，
?(x)??02????ncosnx??nsinnx?n?1?，
(1) 则当?(?x)??(x)时， ?n?0， ??n．
?n?1， ???n．
(2) 当?(?x)???(x)时，?n?0，
???n．
?n?1， ??n．
5 设定义在[a,b]上的连续函数列??n(x)?满足关系
? b a?n(x)?m(x)dx???0 n?m?1 n?m，
对于在[a,b]上的可积函数f，定义
an??f(x)?n(x)dx, n?1,2,L a b，
证明n?1?a?2n收敛，且有不等式n?1?an2??[f(x)]2dx a b? b．
证：在[a,b]上的所有可积函数构成的集合中定义内积为
f(x),g(x)??f(x)g(x)dx a，
则函数列??n(x)?为标准正交系．
令
Sm(x)??an?n(x),m?1,2,Ln?1 bm，则?n,an?f(x),?n(x)，
又? a[f(x)?Sm(x)]2dx
? ????f2(x)dx?2? ? ??f(x)Sn(x)dx?? ? ??2Sn(x)dx，
而
f(x),Sn(x)?f(x),?an?n(x)??anf(x),?n(x)n?1n?12??ann?1mmmm
．
mk?12??akak?k(x),?k(x)??akk?1 ?m b，
，
于是
? ??2f(x)dx??an??[f(x)?Sm(x)]2dx?02n?1 a所以
??m?1,2n?an2??[f(x)]2dxn?1 a? bn?1 am b，即?Sm(x)?有上界．
．
故
?an?1收敛，且
?an2??[f(x)]2dx
傅里叶级数课程及习题讲解
