其中
an?1 ln?xf(x)cosdx,? ?lll
1 ln?xbn??f(x)sindxl ?ll．
上式就是以2l为周期的函数f(x)的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有 f(x?0)?f(x?0)a0??n?xn?x?2?2???ancos?bnsin?ll?． n?1?其只含余弦项，故称为余弦级数． 同理，设f(x)是以2l为周期的奇函数，则
f(x)cosnx奇，f(x)sinnx偶．
于是
an?bn?1 ln?xf(x)cosdx?0? ?lll，
1 ln?x2 ln?xf(x)sindx?f(x)sindxl? ?lll? 0l． a0?n?xf(x):??ansiny2n?1l． 从而
其只含正弦项，故称为正弦级数． 由此可知，函数
要展开为余弦级数必须作偶延拓． ?f(x) x?(0,l) %f(x)???f(?x) x?(?l,0)， 偶延拓
?l函数f(x),x?(0,l)要展
?lOlyx开为正弦级数必须作奇延拓． 奇延拓
?f(x) x?(0,l) %f(x)????f(?x) x?(?l,0)．
Olx二 习题解答
1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1) f(x)?cosx(周期?)；
????x???,?f(x)?cosx?22?延拓后的函数如下图． 解：函数，yf(x)由于按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为
余弦级数． ??O?3????22l?因2，所以由系数公式得
a0?2??2?3?x2??2??2cosxdx?4???20cosxdx?4?．
当n?1时，
4(?1)n?2(?1)n?1?2?(?1)n?1??(2n?1)?(2n?1)??(4n2?1)． bn???2?2??2cosxsinnxdx?0．
2故
f(x)?cosx???4??(?1)n?1n?1?14n2?1cos2nx，
x?(??,??)为所求．
(2) f(x)?x?[x](周期1)；
?11?x???,?解：函数f(x)?x?[x]，?22?延拓后的函数如下图． 由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．
因
l?12，所以由系数公式得
121?2a0?2??x?[x]?dx?2?0?x?[x]?dx?2?0xdx?111．
当n?1时，
?111xsin2n?x|?0n?n??10sin2n?xdx?0．
1?111?1?xcos2n?x|?cos2n?xdx?0n?n??0n?． 11?1f(x)?x?[x]???sin2n?x2?n?1n故，x?(??,??)为所求． 4f(x)?sinx(周期?)； (3)
????x?4??2,2?f(x)?sinx??延拓后的函数如下图． 解：函数，
由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为
余弦级数．
?l?因2，所以由系数公式得
?4???201?31?3?cos2x?cos4x??dx?8?82?4．
当n?1时，
?1??2???0?1??8bn?n?1n?1,n?2n?2． ．
??2?2??2cosxsinnxdx?0311f(x)?sin4x??cos2x?cos4x828故，x?(??,??)为所求．
(4) f(x)?sgn(cosx) (周期2?)．
解：函数f(x)?sgn(cosx)，x?(??,?)延拓后的函数如下图．
由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数．
因l??，所以由系数公式得
a0?????1?sgn(cosx)dx?an?2??2?0sgn(cosx)dx?0．
当n?1时，???0sgn(cosx)cosnxdx
?0?44n???(?1)k?sin?(2k?1)?n?2?n?2kn?2k?1．
bn?2???sgn(cosx)sinnxdx?0．
??cos(2n?1)x2n?1，x?(??,??)． n?1故
?x 0?x?1?f(x)??1 1?x?2?3?x 2?x?3?2 求函数的傅里叶级数并讨论其收敛性．
解：函数f(x)，x?(0,3)延拓后的函数如下图． f(x)?sgn(cosx)??(?1)?4?n由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数．
因
l?32，所以由系数公式得
232122234f(x)dx?xdx?dx?(3?x)dx?3?03?03?13?23． 当n?1时， a0??3n2???cos22n?3?223n?．
bn?2???f(x)sinnxdx?0．
?223???112n??2n?xf(x)??2??2?2coscos3?n?1?nn3?3，x?(??,??)为所求． ?故
3 将函数解：函数
f(x)??x在[0,?]上展开成余弦级数．
f(x)??2?x，x?[0,?]作偶延拓后的函数如下图．
由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为
余弦级数．
由系数公式得
a0?2???012???????xdx?x?x????2??2??2??00．
当n?1时，
?4???n2???0bn?0．
n?2k?1n?2k．
f(x)??2?x?故
1cos(2n?1)x,x?[0,?]??n?1(2n?1)2．
4?4 将函数
f(x)?cosx2在[0,?]上展开成正弦级数．
x2，x?[0,?]作偶延拓后的函数如下图． 解：函数
由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是奇函数，故其展开式为
f(x)?cos正弦级数．
由系数公式得an?0,n?0,1,2,L．
?8n?(4n2?1)．
x8?nf(x)?cos??2sinnx2?n?14n?1故在[0, ?]上为所求． ?1?x0?x?2f(x)???x?32?x?4 5 把函数
在(0, 4)上展开成余弦级数．
解：函数f(x)，x?(0,4)延拓后的函数如下图．
由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为
余弦级数．
因l?4，所以由系数公式得
a0?241214f(x)dx?(1?x)dx?(x?3)dx?04?02?02?2．
an?24n?xf(x)cosdx?044
当n?1时，
?1?x0?x?28f(x)???2?x?32?x?4?所以
2?(2n?1)n?1?12cos(2n?1)?x2为所求．
6 把函数f(x)??x?1?在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出
11???2?6?1?2?2?L??23?．
解：函数f(x)，x?(0,1)延拓为以2为周期的函数如下图．
由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦级数．
因l=，所以由系数公式得
a0?2?f(x)dx?2?(x?1)2dx?0011123．
当n?1时，
?4an?2?(x?1)2cosn?xdx0
n2?2．
bn?0．
14?1(x?1)??2?2cosnx,x?[0,1]3?n?1n所以．
2141??2令x?0得3??1?21???22n6． nn?1，即n?1?7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) f(x)?arcsin(sinx)；
解：函数f(x)?arcsin(sinx)是以2?为周期的函数如下图．
由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是奇函数，故其展开式为
正弦级数．
由系数公式得
an?0,n?0,1,2,L．
(?1)nf(x)?arcsin(sinx)??sin(2n?1)x2?(2n?1)n?1所以，x?R．
(2) f(x)?arcsin(cosx)．
4??f(x)是偶函数，故其展开式为由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又2解：函数f(x)?arcsin(cosx)是以2?为周期的函数如下图．
y余弦级数． ?3?由系数公式得 ??a0?2??2O?2????023?22?xarcsin(cosx)dx?0，
当n?1时，
?0???4??n2?n?2kn?2k?1．
bn?0,n?1,2,L．
f(x)?arcsin(cosx)?所以
??(2n?1)n?14?12cos(2n?1)x，x?R．
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