思路1
例1 写出下列各圆的标准方程：
(1)圆心在原点,半径是3； ⑵圆心在点C(3,4),半径是5; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；
(4)圆心在点C(1, 3),并且和直线3x-4y-7=0相切.
解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9. (2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5. (3)方法一:圆的半径r=|CP|=(x-8)2+(y+3)2=25.
方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.
(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=
(5?8)2?(1?3)2?25=5,因此所求圆的标准方程为
|3?12?7|25?|16|25.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=
256. 25点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.
例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-5,-1)是否在这个圆上.
解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25,
把点M1(5,-7),M2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.
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点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.
例3 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.
解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是
?(5?a)2?(1?b)2?r2,?222?(7?a)?(?3?b)?r?(2?a)2?(?8?b)2?r2.?(1)(2) (3)?a?2,?解此方程组得?b??3,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
?r?5.?解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=
1(x-6). 2同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). 解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=(5?2)?(1?3)=5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.
思路2
例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m).
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图2
解:建立坐标系如图,圆心在y轴上,由题意得P(0,4),B(10, 0). 设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,
222??b??10.5,?0?(4?b)?r,所以?解得?2 2222??r?14.5,?10?(0?b)?r.所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.
设点P2(-2,y0),由题意y0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52, 解得y0=14.52?22-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A2P2的长度约为3.86 m.
例2 求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程.
活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即(a?1)?(b?0)=r+1, ①
22?b?31?(?)??1,?a?33?33由圆与直线x+y=0相切于点(3,-),得??|a?3b|?r.?1?(3)2?解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.
(2)
(3)点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准
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方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.
变式训练
一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.
解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2). 则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2. 因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,
1?a??,222???(0?a)?(0?a?2)?r,?4
所以?解得?222??(1?a)?(3?a?2)?r,?r2?25.?8?所以所求的圆的方程为(x+
12725)+(y-)2=.
84413,), 22解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(所以弦OP的垂直平分线方程为y-
311=-(x-),即x+3y-5=0. 232因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上,
1?x??,??y?x?2,?4,即圆心坐标为C(-1,7).
所以由?解得?44?x?3y?5?0,?y?7,?4?又因为圆的半径r=|OC|=(?)2?()2?所以所求的圆的方程为(x+
147425, 812725)+(y-)2=.
844点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量,有时可用待定系数法.
(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用. 例3 求下列圆的方程:
(1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1).
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(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.
解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以
|a?2a?1|12?12?(a?2)2?(?2a?1)2,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径
22r=(1?2)?(?2?1)=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=
|2?1?1|1?122=2.又
直线y=x-1被圆截得弦长为2(x-2)2+(y+1)2=4.
2,所以由弦长公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为
点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决. （四）知能训练
课本本节练习1、2. （一）拓展提升
1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.
活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.
解:首先两平行线的距离d=
C1?C2A2?B2=2,所以半径为r=
d=1. 2方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的
距离公式d=
|C1?C2|A?B22,得
|k?7|3?422?|k?3|4?322,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与
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