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6.求解与函数最值有关的综合问题
[典例] (12分)已知函数f(x)＝axln x＋bx－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c恒成立，求c的取值范围．
[解题流程]
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[活学活用]
已知函数f (x)＝axln x＋bx－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对x>0，方程f(x)＝－2c有解，求c的取值范围．
解：由题意知f(1)＝－3－c， 因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
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对f(x)求导，得f′(x)＝4axln x＋ax·＋4bx＝x(4aln x＋a＋4b)．
x由题意，知f′(1)＝0， 因此a＋4b＝0，解得a＝12. 由f′(x)＝48xln x(x＞0)， 令f′(x)＝0，解得x＝1. 当0＜x＜1时，f′(x)＜0， 此时f(x)为减函数； 当x＞1时，f′(x)＞0， 此时f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c， 此极小值也是最小值．
所以函数f(x)的值域为[－3－c，＋∞)． 若对x＞0，方程f(x)＝－2c有解， 则－2c属于函数f(x)的值域， 所以－2c≥－3－c， 即2c－c－3≤0， 3
解得－1≤c≤，
2
3??所以c的取值范围为?－1，?. 2??
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22
2
3
[随堂即时演练]
1．函数f(x)＝x－3x(|x|＜1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
解析：选D f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
2
3
?π?2．函数y＝x－sin x，x∈?，π?的最大值是( ) ?2?
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A．π－1 C．π 解析：选C 在?π时，ymax＝π.
B.
π－1 2
D．π＋1
?π，π?上y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x为增函数，∴当x＝
?
?2?
3．函数y＝x在[0,2]上的最大值为________． ee·x′－e
解析：y′＝x2
e
xxx′x1－x＝x，
e
令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．
f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝2，
1
∴f(x)max＝f(1)＝.
e1答案： e
152
4．已知函数y＝－x－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
4解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，
∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减． 152
若a＞－1，则最大为f(a)＝－a－2a＋3＝，
431??解之得a＝－?a＝－舍去?； 22??
15
若a≤－1，则最大为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.
41
答案：－
2
5．已知a为实数，f(x)＝(x－4)(x－a)． (1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值． 解：(1)由原式得f(x)＝x－ax－4x＋4a， ∴f′(x)＝3x－2ax－4. 1
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
2
2
3
22
1e2e
?1?2
此时有f(x)＝(x－4)?x－?，
?2?
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f′(x)＝3x2－x－4.
4
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
3
5099?4?又f??＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，2722?3?50
最小值为－. 27
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值 D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
解析：选D 由极值与最值的区别知选D.
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( ) A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值
解析：选A f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
1
3．函数f(x)＝2x＋，x∈(0,5]的最小值为( )
xA．2 B．3 C.
171 D．22＋ 42
11
－2＝x－1x2
＝0，得x＝1，
解析：选B 由f′(x)＝
32
xx且x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,5]时，f′(x)＞0， ∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．函数f(x)＝x－x－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( ) A．3 B．1 C．2 D．－1
12
解析：选B f′(x)＝3x－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1.又f(0)
3
3
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＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
5．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 解析：选A 令u(x)＝f(x)－g(x)， 则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0， ∴u(x)在[a，b]上为减函数， ∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)． 二、填空题 6．函数f(x)＝ 1 ＋x(x∈[1,3])的值域为________． x＋1 1 解析：因为f′(x)＝－ x＋1 x2＋2x， 2＋1＝ x＋12 所以f(x)在[1,3]上f′(x)＞0恒成立， 即f(x)在[1,3]上单调递增， 所以f(x)的最大值是f(3)＝3 最小值是f(1)＝. 2 13， 4 ?313?故函数f(x)的值域为?，?. ?24??313?答案：?，? ?24? 7．若函数f(x)＝x－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________. 解析：∵f′(x)＝3x－3， ∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0； 当－1 ∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0) 23 鼎尚出品
高中数学第三章 3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选修2
