专题限时训练 (小题提速练)
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一、选择题
x2y2
1．如果双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线3x－y＋3＝0平行，则双曲线的离心率为( ) A.2 C.2
B.3 D.3
a2＋3a2
bb
解析：因为y＝ax与3x－y＋3＝0平行，所以a＝3，得b＝3a，c＝c
＝2a，所以e＝a＝2.选C. 答案：C
2．若直线x－y＝2被圆(x－1)2＋(y＋a)2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为( ) A．－2或6 C．－1或3
B.0或4 D.－1或3
解析：圆心坐标为(1，－a)，弦长为22， ∴圆心到直线x－y－2＝0的距离为d＝4－2＝2，
|1＋a－2|
即2＝，∴|a－1|＝2，∴a＝－1或a＝3.选D.
2答案：D
y2
3．已知双曲线C：x－3＝1，则C的顶点到其渐近线的距离等于( )
2
1A.2 3C.2
B.1 D.3
解析：双曲线的顶点坐标是(±1,0)，渐近线方程是y＝±3x，因此其顶点到渐近3
线的距离d＝2.选C.
答案：C
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点F的距离为2，则抛物线方程为( ) A．y2＝x C．y2＝4x
B.y2＝2x D.y2＝8x
?p?
解析：由题意知F?2，0?，不妨设抛物线上横坐标为1的点为A(1，2p)，故|FA|2
???p?
＝?2－1?2＋(0－2p)2＝4，又p>0，故p＝2，抛物线方程为y2＝4x.选C. ??答案：C
x2y2
5．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的中心为点O，右焦点为F，右顶点为A，直线xa2|FA|
＝c与x轴的交点为K，则|OK|的最大值为( ) 1A.2 1C.4
2
1B.3 D.1
|FA|a－cac－c?1?11
解析：|OK|＝a2＝a2＝－e2＋e＝－?e－2?2＋4≤4.选C.
??
c答案：C
6．(2024·江西省五校协作体检测)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为( ) A．15° C.45°
B.30° D.60°
解析：分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由11
抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝2(|AA′|＋|BB′|)＝2|AB|，1
因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝2|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜
角为30°.选B. 答案：B
x2y2
7．设椭圆m2＋n2＝1(m>0，n>0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心1
率为2，则此椭圆的方程为( ) x2y2
A.16＋12＝1 x2y2
C.48＋64＝1
x2y2
B.12＋16＝1 x2y2
D.64＋48＝1
解析：抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，所以椭圆的焦点在x轴上且半焦距为2，21x2y2222
由m＝2，得m＝4，所以n＝4－2＝12，故椭圆的方程为16＋12＝1.选A. 答案：A
x2y2
8．设双曲线4－3＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( ) 19A. 2C.12
B.11 D.16
??|AF2|－|AF1|＝2a＝4，
解析：由题意，得?所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8
??|BF2|－|BF1|＝2a＝4，b2
＋|AB|，显然，当AB为通径时，其长度最短，|AB|min＝2·故(|BF2|＋|AF2|)min
2＝3，＝11.选B. 答案：B
x2y2x2y2
9．若实数k满足0 9－k25－k9A．离心率相等 C．实半轴长相等 B.虚半轴长相等 D.焦距相等 x2y2 解析：因为0 9－k 长为5，虚半轴长为9－k，焦距为225＋?9－k?＝234－k，离心率为 34－k 5.x2y2 双曲线－＝1的实半轴长为 25－k9＝234－k，离心率为34－k25－k 25－k，虚半轴长为3，焦距为2?25－k?＋9 .故两曲线只有焦距相等．选D. 答案：D 10．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( ) A．1 C.2 B.2 D.22 解析：圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为(0，－1)，半径为2，直线l的斜率为－1，方程为x＋y－1＝0.圆心到直线l的距离d＝|AB|＝2r2－d2＝2 |0－1－1| 2 ＝2，弦长 4－2＝22，又坐标原点O到AB的距离为 1 ，所以△AOB2 11 的面积为2×22×＝1.选A. 2答案：A x2y2c 11．已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为( ) 23A.3 4C.3 B.2 D.22 解析：双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，一个焦点为(c,0)，则焦点到渐近线的距离为 |bc－0| cc4 ＝2，得b＝2.又b2＝c2－a2，所以有4a2＝3c2，解得e2＝3，即e b2＋a2 23 ＝3.选A. 答案：A 12．(2024·武汉高三调研)如图，抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( ) ︵ A．(6,12) C.(6,10) B.(8,10) D.(8,12) 解析：由题意可得抛物线E的焦点为(0,1)，圆M的圆心为(0,1)，半径为4，所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y 2??x＝4y，轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离，由?得y 22??x＋?y－1?＝16， ＝3，又点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4,6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8,10)．选B. 答案：B 二、填空题 13．(2024·成都检测)已知双曲线C：x2－y2＝1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为________． 解析：由题意，知双曲线的渐近线方程为x±y＝0，右焦点F(2，0)，所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为 |2|1＋1 2 ︵2 ＝1.
2024新课标高考数学(文)二轮总复习专题5 解析几何1-5-2
