排列组合
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N?m1?m2?L?mn种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N?m1?m2?L?mn种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
113C3A4?288 解: 由分步计数原理得C4练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法
二.相邻元素捆绑策略
例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
522A2A2?480 解： A5
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 4解A5A56 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,
3然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A3
4 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙
4共有 1种坐法，则共有A7种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理 练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 5 C10
五.重排问题求幂策略
例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78
六.环排问题线排策略
例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把
圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
CDEFGHBAABCDEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
1mAn n练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
15解:,则共有A24A4A5种
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座
位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
4 C52A4练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一
种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的
五位数有多少个
22解：共有A22A2A2种排法 .15243 练习题：
１、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一
54品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A22A5A4
552、 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种
十.元素相同问题隔板策略
例10.、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）, 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插 m?1入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn?1
练习题：1、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法
2、
3 C103
一班二班三班四班五班六班七班x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶
312数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶
123123C5?C5C5?C5?9 数的取法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它
的反面,再从整体中淘汰.
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种
高中数学排列组合题型归纳总结
