28．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得ΔFMN，过ΔFMN三边的中点作ΔPQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明ΔFMN∽ΔQWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，ΔPQW为直角三角形？当x在何范围时，ΔPQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
．
【答案】解：（1）由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点， ∴PW是ΔFMN的中位线，即PW∥MN ∴ΔFMN∽ΔQWP
（2）由题意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x， 由勾股定理分别得 FM=4?x，
22MN2=(4?x)2+(6?x)2 FN2=(4?x)2+16
①当MN=FM+FN时，(4?x)+(6?x)=4?x+(4?x)+16 解得 x?222222224 3222②当FN=FM+MN时，(4?x)+16=4?x+(4?x)+(6?x) 此方程无实数根
③FM=MN+FN时，4?x=(4?x)+(6?x)+(4?x)+16 解得 x1?10（不合题意，舍去），x2?4 综上，当x?22222222224或x?4时，ΔPQW为直角三角形； 3当0≤x＜
44或＜x＜4时，ΔPQW不为直角三角形 332222（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2； ②当4＜x≤6时，MN=AM2+AN=(x?4)+(6?x)
=2(x?5)?2
当x=5时，MN取得最小值2， ∴当x=5时，线段MN最短，MN=2． 29．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线y?0)两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF
面积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P
点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
y
2212x?bx?c与x轴交于A (－4，0) 和B(1，2A
O C 图9
B
x
【答案】解：（1）由二次函数y?
12x?bx?c与x轴交于A(?4,0)、B(1,0)两点可得： 2?123(?4)?4b?c?0，???b?，?2 ? 解得： ?2
12???1?b?c?0．?c??2．??213 故所求二次函数的解析式为y?x2?x?2．
22BF1BF1（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ?,?.
CF2BC3 ∵EF//AC, ∴?BEF??BAC, ?BFE??BCA, ∴△BEF～△BAC,
BEBF15∴ ??,得BE?, BABC332故E点的坐标为(?,0).
3
（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．若设直线AC1???2?0?b,?k??,的解析式为y?kx?b，则有? 解得：?2
0??4k?b．???b??2．故直线AC的解析式为y?－x?2．
12
3?1?若设P点的坐标为?a,a2?a?2?，又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线
2?2?1AC的交点，则Q点的坐标为（a,?a?2)．则有：
21311 PQ?[?(a2?a?2)]?(?a?2)＝?a2?2a
222212＝??a?2??2
2即当a??2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3） 解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD?AB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可. 设P点坐标为（x0,y0)，则有:
SVAPC?SVADP?S梯形DPCO?SVACO ＝
111AD?PD?(PD?OC)?OD?OA?OC 222111 ＝?x0y0?2y0???y0?2????x0???4?2
222 ＝?2y0?x0?4
＝?2?＝?x2?123?x0?x0?2??x0?4
2?2?220?4x0 ＝－?x0?2??4
即x0??2时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标
为（－2，－3）
30 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线y?x?x?4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y?x?b与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），VABE与VACE的面积大小关系如何？当b??4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得VBOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
2yyCCEBOxEOBAxA图（1） 第26题 图（2）
【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4） （2）当b＝0时，直线为y?x，由??y?x2?y?x?x?4解得?
?x1?2?x2??2，?
?y1?2?y2??2所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
11SVABE??4?2?4，SVACE??4?2?4
22所以SVABE?SVACE（利用同底等高说明面积相等亦可） 当b??4时，仍有SVABE?SVACE成立. 理由如下
y???y?x?b?x1?b?4?x2??b?4由?，解得?，? 2?y?x?x?4??y1?b?4?b??y2??b?4?bBGCROF所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b）， 作BF?y轴，CG?y轴，垂足分别为F、G，则BF?CG?b?4， 而VABE和VACE是同底的两个三角形，
所以SVABE?SVACE. （3）存在这样的b.
因为BF?CG,?BEF??CEG,?BFE??CGE?90? 所以VBEF?VCEG
所以BE?CE，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，VOBC为直角三角形 因为GE?b?4?b?b?b?4?GC 所以 CE?Q2?b?4，而OE?b
所以2?b?4?b，解得b1?4,b2??2，
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.
31．（2010湖南怀化）图9是二次函数y?(x?m)?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?25S?MAB,若存在，求出P点的 4坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此 图象有两个公共点时，b的取值范围.
图9
2【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y?(x?m)?k的顶点坐标，
所以y?(x?1)?4?x?2x?3 令x?2x?3?0,解之得x1??1,x2?3. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P，使S?PAB?设p(x,y),则S?PAB∴2y?2225S?MAB 411?AB?y?2y，又S?MAB?AB??4?8, 225?8,即y??5. 4∵二次函数的最小值为-4，∴y?5. 当y?5时，x??2,或x?4.
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 （3）如图1，当直线y?x?b(b?1)经过A点时，可得
b?1.……………8分
图1
2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八二次函数的图象和性质2
