第29讲
平面向量的数量积及其应用
一、 考情分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
二、 知识梳理
1.两个向量的夹角
→＝a，OB→＝b，则∠AOB称
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉. π
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝2，则a与b垂直，记作a⊥b. 2.向量在轴上的正射影
→＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O，A，则向量
已知向量a和轴l(如图)，作OA11→O1A1叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
→＝a在轴l上正射影的坐标记作a，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数OAl中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.
作向量a
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
2②模：|a|＝a·a＝x21＋y1.
a·b③夹角：cos θ＝|a||b|＝
x1x2＋y1y2
. 222
x2＋y·x＋y1122
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ 4.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). [微点提醒]
1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
222
x21＋y1·x2＋y2.
三、 经典例题
考点一 平面向量数量积的运算
AB?AC?2，则AB?AC的（2024·汉中市龙岗学校高三其他（理））在锐角ABC中，B?60?，【例1-1】
取值范围为（ ） A．?0,12? 【答案】A
【解析】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，
B．???1?,12? ?4?C．?0,4 ?D．?0,2 ?AB?AC?BC?2， ∵B?60?，∴C， （，13）
设A （x，0）∵ABC是锐角三角形，
∴A?C?120?，∴30?＜A＜90?，
即A在如图的线段DE上（不与D，E重合）， ∴1＜x＜4，
（x?）?则AB?AC?x?x?∴AB?AC的范围为． （012，）故选：A．
21221， 4
（2024·吉林省高三其他（文））设非零向量a，b满足a?3b，cosa,b?【例1-2】则b?（ ） A．2 【答案】A 【解析】
B．3 C．2
D．5 1，a?a?b?16，3??|a|?3|b|，cos?a,b??21. 3?a?(a?b)?a?a?b?9|b|2?|b|2?8|b|2?16，
?|b|?2. 2（2024·福建省高三其他（文））点P在以F为焦点的抛物线x?4y上，PF?5，以P为圆心，PF【例1-3】
为半径的圆交x轴于A,B两点，则AP?AB?（ ） A．9
B．12
C．18
D．32
2024届新高考数学一轮复习(新高考)第29讲-平面向量的数量积及其应用(解析版)
