第29讲
平面向量的数量积及其应用
一、 考情分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义; 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系; 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
二、 知识梳理
1.两个向量的夹角
→=a,OB→=b,则∠AOB称
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作OA和向量b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)范围:向量夹角〈a,b〉的范围是[0,π],且〈a,b〉=〈b,a〉. π
(3)向量垂直:如果〈a,b〉=2,则a与b垂直,记作a⊥b. 2.向量在轴上的正射影
→=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O,A,则向量
已知向量a和轴l(如图),作OA11→O1A1叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
→=a在轴l上正射影的坐标记作a,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则由三角函数OAl中的余弦定义有al=|a|cos__θ.
作向量a
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义:
|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. ①数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
2②模:|a|=a·a=x21+y1.
a·b③夹角:cos θ=|a||b|=
x1x2+y1y2
. 222
x2+y·x+y1122
④两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤ 4.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). [微点提醒]
1.两个向量a,b的夹角为锐角?a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角?a·b<0且a,b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
222
x21+y1·x2+y2.
三、 经典例题
考点一 平面向量数量积的运算
AB?AC?2,则AB?AC的(2024·汉中市龙岗学校高三其他(理))在锐角ABC中,B?60?,【例1-1】
取值范围为( ) A.?0,12? 【答案】A
【解析】解:以B为原点,BA所在直线为x轴建立坐标系,
B.???1?,12? ?4?C.?0,4 ?D.?0,2 ?AB?AC?BC?2, ∵B?60?,∴C, (,13)
设A (x,0)∵ABC是锐角三角形,
∴A?C?120?,∴30?<A<90?,
即A在如图的线段DE上(不与D,E重合), ∴1<x<4,
(x?)?则AB?AC?x?x?∴AB?AC的范围为. (012,)故选:A.
21221, 4
(2024·吉林省高三其他(文))设非零向量a,b满足a?3b,cosa,b?【例1-2】则b?( ) A.2 【答案】A 【解析】
B.3 C.2
D.5 1,a?a?b?16,3??|a|?3|b|,cos?a,b??21. 3?a?(a?b)?a?a?b?9|b|2?|b|2?8|b|2?16,
?|b|?2. 2(2024·福建省高三其他(文))点P在以F为焦点的抛物线x?4y上,PF?5,以P为圆心,PF【例1-3】
为半径的圆交x轴于A,B两点,则AP?AB?( ) A.9
B.12
C.18
D.32
2024届新高考数学一轮复习(新高考)第29讲-平面向量的数量积及其应用(解析版)



