r＜? （16）
由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P?，P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于P? 处。计算可得
CP??（17） 又有
rR??r
OP??CP??R图
2
（18）
由以上各式并代入数据得
OP??13 cm （19）
由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P?处，距O点13cm．即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。 评分标准：
本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。
七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得 VAsin??vA （1）
VAcos??vB （2）
因而
vB?vAcot? （3）
由能量守恒
1122 （4） mAgRcos??mAvA?mBvB22由（3）、（4）两式及mB＝2mA得
2gRcos?vA?sin? （5） 21?cos?2gRcos?vB?cos? （6） 21?cos?评分标准：
本题（15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）两式各2分。
八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路，其中RB?C?是虚线右方电路的等效电阻。由于B?、C?右方的电路与B、C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有
RBC?RB?C? （1） 由电阻串、并联公式可得 图1
2RB?C?RBC?1?（2）
2?RB?C?由式（1）、（2）两式得
2RBC?RBC?2?0 解得
RBC＝2.0 ? （3） 图1所示回路中的电流为
图2
20?10?24A=0.10A （4）
10?30?18?2电流沿顺时针方向。
设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示。由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即
Q1＋Q2－Q3＝0 （5） A、E两点间的电势差
QQUA?UE??1?3 （6）
C1C3又有
UA?UE?(10?30?0.10)V=7.0V （7）
B、E两点间的电势差
QQUB?UE?2?3 （8）
C2C3又有
UB?UE?(24?20?0.10)V=26V （9）
根据（5）、（6）、（7）、（8）、（9）式并代入C1、C2和C3之值后可得
－
Q3＝1.3×104C （10）
－
即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为1.3×104C。 评分标准：
本题17分．求得（3）式给3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式各2分，指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分。
九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为△t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图1所示：图中，F表示△t 时间内任意时刻弹簧的弹力，T 表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力。因D的质量忽略不计，有 T0＝2T （1）
在时间△t 内任一时刻，法码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有
IF?Img?mv1 I?（2）
图1
IT?Img?mv2 （3） IT?Img?mv2 （4） IF?Img?IT0?mv2 （5）
式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在△t 时间内冲量的大小。注意到式（1），有 IT0＝2IT （6）
由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得
1v2?v1 （7）
3在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动。以△l1表示在△t 时间内弹簧上端向上运动的距离，△l2表示其下端向下运动的距离。由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的1/3，故有
1 ?l2??l1 （8）
3另有
?l1??l2?l0 （9）
在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有
121212kl0?mv1?3?mv2?mg?l1?mg?l2?2mg?l2 （10） 222由（7）、（8）、（9）、（10）式得
3?12?kl?mgl?00? （11） 2m?2?砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有
v1＝gt1 （12）
砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示，以a表示加速度的大小，有
mg－T＝ma （13） mg－T＝ma （14） T0－mg＝ma （15） T0＝2T （16）
由（14）、（15）和（16）式得
1a?g （17）
图2 3托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有
v2＝at2 （18）
由（7）、（12）、（17）和（18）式，得
vt1?t2?1 （19）
g即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇。题中要求的时间
t总?2t1 （20）
2v1?由（11）、（12）、（20）式得 t总?2g3?12??kl0?mgl0? 2m?2?评分标准：
本题18分．求得（7）式给5分，求得（11）式给5分，（17）、（19）、（20）、（21）式各2分。
2004重庆第21届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案
