椭圆的几何性质
一、教学目标 (一)知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．
(二)能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．
二、教材分析
1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．
(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的
影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)
3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，
即不随坐标系的改变而改变．
(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？
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2．椭圆的标准方程是什么？ 学生口述，教师板书． (二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是
b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是
与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
1．范围
即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里
(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．
2．对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．
设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，
方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？
事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲
线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．
同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中
的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．
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事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必
在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．
最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心． 3．顶点
只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；
令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．
教师还需指出：
(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和
2b；
(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．
4．离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：
等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义． 先分析椭圆的离心率e的取值范围： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
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高中数学选修1-1《椭圆的几何性质》
