第一章极限和连续 第一节极限
[复习考试要求]
1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列
定义按一定顺序排列的无穷多个数
称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3）（递增数列）
（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。
对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。 在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,…。 2.数列的极限
定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作 比如：
无限的趋向0 ，无限的趋向1
否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。
比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，…
数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。 比如：
无限的趋向0 无限的趋向1
（二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质
定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。
注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：
1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则
定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件： （1）， （2）， 则
定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5
（1） （2）
（3）当时，
（三）函数极限的概念
1.当x→x0时函数f（x）的极限 （1）当x→x0时f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，
记作
或f（x）→A（当x→x0时） 例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1
x>1x→1
（2）左极限
当x→x0时f（x）的左极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作 或f（x0-0）=A （3）右极限
当x→x0时，f（x）的右极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作 或f（x0+0）=A 例子：分段函数 ，求， 解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有
当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有
显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：
定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
反之，如果左、右极限都等于A，则必有。
x→1时f(x)→? x≠1
x→1f(x)→2
对于函数，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。
2.当x→∞时，函数f（x）的极限 （1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+
x→∞f(x)=1+→1
定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→∞时）
（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作
这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？
x→+∞，f(x)=2+→2
例：函数f（x）=2+e-x
，当x→+∞时，f（x）→？
解：f（x）=2+e-x
=2+， x→+∞，f（x）=2+→2 所以
（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作
x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2
例：函数，当x→-∞时，f（x）→？ 解：当x→-∞时，-x→+∞ →2，即有
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。
例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时的极限是1，常用希腊字母，…来表示无穷小量。
定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是： 可表示为A与一个无穷小量之和。
注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。 （3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。 例如：
振荡型发散
记作
其几何意义如图3所示。
f(x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 （四）函数极限的定理
定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：
（1），（2） 则有。
注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果则 （1）
（2） （3）当时，时，
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：
（1） （2） （3）
用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。
另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 （五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小） 定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作
（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。
2.无穷大量（简称无穷大）
定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。
注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。
3.无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。 定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。 当无穷大 无穷小 当为无穷小 无穷大
4.无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较
定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。 （1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作； （2）如果则称与为同阶的无穷小量； （3）如果则称与为等价无穷小量，记为； （4）如果则称是比较低价的无穷小量。当
等价无穷小量代换定理：
如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。 均为无穷小 又有
这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有： 当时，
sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;
（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ
重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式
令
这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。 其结构式为：
2.重要极限Ⅱ
重要极限Ⅱ是指下面的公式：
其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为 e=2.718281828495045…… 其结构式为：
重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。 （七）求极限的方法：
1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限；
5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式 （2） （3） （4）
例1.无穷小量的有关概念
（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是 A.B.
C.D. [答]C A.发散 D.
（2）[0202]当时，与x比较是
A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量
C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量 [答]B
解:当,与x是
极限的运算： [0611]
解：
[答案]-1
例2.型因式分解约分求极限 （1）[0208] [答] 解:
（2）[0621]计算[答]
解:
例3.型有理化约分求极限 （1）[0316]计算 [答] 解:
（2）[9516] [答]
解:
例4.当时求型的极限 [答] （1）[0308] 一般地，有
例5.用重要极限Ⅰ求极限
（1）[9603]下列极限中，成立的是 A.B.
C.D. [答]B
（2）[0006] [答]
解:
例6.用重要极限Ⅱ求极限
（1）[0416]计算 [答] [解析]解一：令
解二：
[0306] [0601]
（2）[0118]计算 [答] 解:
例7.用函数的连续性求极限 [0407] [答]0 解: ，
例8.用等价无穷小代换定理求极限 [0317] [答]0 解:当
例9.求分段函数在分段点处的极限 （1）[0307]设 则在的左极限 [答]1 [解析]
（2）[0406]设,则 [答]1 [解析]
例10.求极限的反问题 （1）已知则常数
[解析]解法一：，即，得. 解法二：令， 得，解得.
解法三：（洛必达法则） 即，得.
（2）若求a,b的值. [解析]型未定式. 当时，. 令
于是，得. 即， 所以. [0402]
[0017]，则k=_____.（答:ln2）
[解析]
前面我们讲的内容：
极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。
可以得到下列连续函数的性质。 定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则 （1）f（x）±g（x）在x0处连续 （2）f（x）·g（x）在x0处连续
第二节函数的连续性
[复习考试要求]
1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
[主要知识内容]
（一）函数连续的概念 1.函数在点x0处连续
定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即
则称函数y=f（x）在点x0处连续。
函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：
定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即
定义3设函数y=f（x），如果，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续。 2.函数在区间[a，b]上连续
定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点x
处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。 这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：，在右端点b连续，是指满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。
可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。 3.函数的间断点
定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。
由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一：
（1）在点x0处，f（x）没有定义； （2）在点x0处，f（x）的极限不存在；
（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且存在，但 ，
则点x0是f（x）一个间断点。 ，则f（x）在
A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续 C.x=0处间断，x=1处连续 D.x=0处连续，x=1处间断 解：x=0处，f（0）=0
∵f（0-0）≠f（0+0） x=0为f（x）的间断点 x=1处，f（1）=1
f（1-0）=f（1+0）=f（1）
∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C [9703]设，在x=0处连续，则k等于 A.0 B. C. D.2 分析：f（0）=k ［答案］B
例3[0209]设在x=0处连续，则a=
解：f（0）=e0
=1
∵f（0）=f（0-0）=f（0+0） ∴a=1 ［答案］1
（二）函数在一点处连续的性质
由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，
（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。
定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。
在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即
定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，
且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1
（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。 （三）闭区间上连续函数的性质 在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。
定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。
定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得
推论（零点定理）如果函数
f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得 f（ξ）=0
（四）初等函数的连续性
由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。 定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。
利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 f（x）在x0处连续
也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 ［0407］
[0611]
例1.证明三次代数方程x3
-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根.
证：设f（x）=x3
-5x+1 f（x）在［0，1］上连续 f（0）=1 f（1）=-3
由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1）
使得f（ξ）=0，ξ3
-5ξ+1=0
即方程在（0，1）内至少有一个实根。 本章小结
函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。 这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下： 一、概念部分
重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。 极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，
极限值是一个确定的常数。
函数在一点连续性的三个基本要素： （1）f（x）在点x0有定义。 （2）存在。 （3）。
常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。 二、运算部分
重点：求极限，函数的点连续性的判定。 1.求函数极限的常用方法主要有：
（1）利用极限的四则运算法则求极限；
对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。 （2）利用两个重要极限求极限；
（3）利用无穷小量的性质求极限； （4）利用函数的连续性求极限； 若f（x）在x0处连续，则。
（5）利用等价无穷小代换定理求极限； （6）会求分段函数在分段点处的极限； （7）利用洛必达法则求未定式的极限。 2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。
第二章一元函数微分学 第一节导数与微分
[复习考试要求]
1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 [主要知识内容] （一）导数的概念
1.导数的定义：定义设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得改变量△x时，函数y=f（x）取得相应的改变量△y=f（x0+△x）-f（x0），如果当△x→0时，函数的改变量△y与自变量的改变量△x之比的极限
存在，则称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，并称函数y=f（x）在点x0处可导，记作
利用导数定义求导数的解题步骤： （1）求增量△y=f（x0+△x）-f（x0） （2）算比值 （3）取极限
左导数如果当△x→0-时，的极限存在，则称此极限值为函数f（x）在x0处的左导数，记为f’-（x0），即
右导数如果当△x→0+
时，的极限存在，则称此极限值为函数f（x）在x0处的右导数，记为f+’（x0），即
如果函数f（x）在x0处可导，显然要求在此点左导数和右导数都存在且相等，反之也成立。 导函数
一般地说，设对于开区间（a，b）内的每一点x，函数y=f（x）都有导数，那么称f（x）在（a，b）可导，于是对应于（a，b）内的每一个x值，就有一个导数值f’（x），因此导数是x的函数，此函数叫做导函数。以后为了简便起见，将导函数简称为导数，记作2.导数的几何意义
设曲线的方程为y=f（x），则由导数的定义可知，函数y=f（x）在某点x0处的导数f’（x0）就是曲线上的点M（x0，y0）处切线的斜率（见图）， 即
由曲线的点斜式方程，易知曲线y=f（x）上的点M（x0，y0）处的
切线方程为
y－y0=f'(x0)(x－x0) 3.可导与连续的关系
定理2.1如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。 例：
f（x）在x=0处连续。 ∵f''
-(0)≠f+(0)
∴f（x）=∣x∣在x=0处不可导 （二）曲线的切线方程及法线方程
若函数y=f（x）在点x0处可导，由导数的几何意义，知f’（x0）表示过曲线上点M（x0，y0）的切线斜率。所以，过曲线上点M（x0，y0）的切线方程为 y-y0=f'(x0)(x-x0)
若f'(x0)存在且不等于零，则过点M（x0，y0）的法线方程为
例1[9704]设函数f（x）满足，则f'(0)=。 解： [答]
例2[0303]己知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则等于（） A.0B.1C.2D.4
解：f(x)在点x0处可导，f'(x0)=2 [答]D
导数的几何意义
例3[0410]曲线y=e-x
在点（0，1）处的切线的斜率k为______. [解析]本小题主要考查利用导数的几何意义，满分4分。
例2［0616］曲线y=x3
-x在点（1，0）处的切线方程为.
解：y'=3x2
-1 y'∣x=1=2 y-0=2(x-1)
切线方程为y=2(x-1) [答]y=2(x-1)
例3[9920]在曲线上求一点M0,使过点M0的切线平行于直线x-2y+5=0,并求过点M0的切线方程和法线方程。
[解析]本小题主要考查利用导数几何意义求曲线的切线方程和法线方程，满分6分。 设M0（x0，y0）
故切线方程为，即x-2y+1=0 法线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0 （三）导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
（1）（C）'=0（2）（xμ）'=μxμ-1
（3）（4）
（5）（ax）'=axlna（a＞0,a≠1）（6）（ex）'=ex
（7）（8） （9）（sinx）'=cosx（10）（cosx）'=-sinx （11） （12） （13）（secx）'=secx·tanx （14）（cscx）'=-cscx·cotx （15）（16） （17）（18）
2.导数的四则运算法则 设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有 （1）（u±v）'=u'±v' （2）（u·v）'=u'·v+u·v' （3）（cu）'=c·u' （4） （5） （6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w' 3.复合函数求导法则
如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为
2016年成人高考高数二重点笔记(淘宝花钱买的)课件
