解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cos30°＝＝403 cm；
CD80
＝
3
，解得CD2
3
(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝＝，
1653解得OC＝553 cm，
∴OA＝2OC＝1103(cm)，OB＝OD＝OC－CD＝553－403＝153(cm)，AB＝OA－OB＝1103－153＝953(cm)．
6．[2016·泸州]如图Z14－7，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处603 m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡比为i＝1∶3的斜坡DB前进30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考4
数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，结果保留根号)
3
OC 图Z14－7 中考变形6答图
解：如答图，过点B作BN⊥CD于点N，BM⊥AC于点M. 在Rt△BDN中，BD＝30 m，BN∶ND＝1∶3，∴∠D＝30°. ∴BN＝15 m，DN＝153 m， ∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°， ∴四边形CMBN是矩形，
∴CM＝BN＝15 m，BM＝CN＝603－153＝453(m)，
AM4
在Rt△ABM中，tan∠ABM＝≈，
BM3∴AM＝603 m，
∴AC＝AM＋CM＝(15＋603) m.
7．[2016·海南]如图Z14－8，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4 m，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上． (1)求斜坡CD的高度DE；
(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)
图Z14－8
中考变形7答题
解：(1)在Rt△DCE中，CD＝4 m，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°， 1
∴DE＝CD＝2(m)；
2
(2)如答图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F. ∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形， 设BF＝DF＝x(m)，
∵∠DEC＝∠EAF＝∠AFD＝90°， ∴四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2 m，即AB＝(x＋2)m， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°， ∴BC＝
ABcos30°
＝x＋22x＋4?3（2x＋4）?32＝3＝??
3
? m， ?
BD＝2BF＝2x m，DC＝4 m， ∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°， ∴∠DCB＝90°，
2
（2x＋4）
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得2x2＝＋16，解得x＝4＋43或4－43
3
(舍去)，
∴AB＝(6＋43)m. 【中考预测】
某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿
势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图Z14－9①，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30 cm. (1)如图②，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；
(2)如图③，当∠BAC＝12°时，求AD的长．(结果保留根号，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈，sin12°≈
图Z14－9
解：(1)∵∠BAC＝24°，CD⊥AB， ∴sin24°＝
CDAC， ∴CD＝ACsin24°≈30×＝12(cm)； ∴支撑臂CD的长为12 cm；
(2)如答图，过点C作CE⊥AB于点E， 当∠BAC＝12°时，sin12°＝ ECAC＝EC30
， ∴CE≈30×＝6， ∵CD＝12，∴DE＝6 3， ∴AE＝302－62＝126 cm，
∴AD的长为(126＋63)cm或(126－63)cm.
中考预测答图专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
【经典母题】
已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．
(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边证明你的判断．
图Z15－1
解：(1)如答图所示；
(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．
【思想方法】 旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口． 【中考变形】
1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，
经典母题答图
AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是
图Z15－2
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
( D )
2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( B ) A．1∶2 ∶2
B．1∶2 D．1∶3
图Z15－3
中考变形2答图
【解析】 如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠
CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′.在△ABP和△CBP′中，
?BP＝BP′，
?∠ABP＝∠CBP′， ?AB＝CB，
∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A. ∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝2PB.∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，得PP′＝AP2－P′A2＝（3x）2－x2＝22x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.
3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB. (1)线段DC＝__4__； (2)求线段DB的长度．
图Z15－4
解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4； (2)如答图，作DE⊥BC于点E. ∵△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，
13
在Rt△CDE中，DE＝DC＝2，CE＝DC·cos30°＝4× ＝23，
22∴BE＝BC－CE＝33－23＝3.
在Rt△BDE中，BD＝DE2＋BE2＝22＋（3）2＝7.
4．如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝
中考变形3答图
CE，连结BD，CD.
中考初三数学冲刺拔高专题训练
