几何光学中引入符号法则探讨
毛 强 彭振生
（宿州师范专科学校 物理系，安徽 宿州 234000）
摘要：本文以单球面折射为例，经推导，若不引入符号法则，将有八个不同的物象公式；
若引入符号法则，可以统一为一个物象公式。从而给学生以深刻印象——研究几何光学引入会号法则是完全必要的，计算中必须严格遵守符号法则。
关键词：几何光学；符号法则；必要性
中图分类号：O435 文献标识码：A 文章编号：1009—041X（2003）04—0058—02
大学的几何光学中引入了符号法则，对线段和角度的正负号作出了约定，因此在进行光路计算时要严格遵守正负号的约定。学生在几何光学的计算中往往在正负号上发生错误，于是有的学生说高中几何光学中没有引入正负号法则，不是照样可以计算吗？引入符号法则是自找麻烦。有这种认识的人是对几何光学中引入符号法则的意义没有弄明白，大学研究的几何光学比高中的几何光学复杂得多，引入符号法则可以对研究复杂的光学问题带来方便。下面具体谈谈引入符号法则的意义。
1 可以把各种情的公式统一起来
以单球面折射为例。对于单球面折射，一般说来物和象都有实、虚两种可能性。此外球心O在哪一侧也有两种可能性，若不引入符号法则，对于各种不同情形，将有八个不同的物象公式。为使读者看得清楚，下面作些推导。
1.1 实物实像，球心在右的情形（图1）
图1 实物实象，球心在右的情形
fig.1 The Situation that a Material Object form a Real Image
and the Spherical Center is on the Right
在△PAC和△P?AC中应用正弦定理，可得：
PCsini?ACsinu和P?Csini??ACsinu?
但AC=OC=r 故得PC ?s?rsini??s?r和P?Cs??r?sini??s??r
rsinu和?rsinu?以折射定律nsini?n?sini?代入，得：
s??r?nsinun?sinu?(s?r)AOAO对于近轴光线， sin u ? u ? s , sin u ? ? u ? ? s ? ，代入上式，得：
n?s??ns?n??nr1.2 实物虚象，球心在右的情形（图2）
图2 实物虚象，球心在右的情形
fig.2 the situation that a material object form a virtual
image and the spherical center is on the right
在△PAC和△P?AC中，应用正弦定理，可得：
PCsini?ACsinu和P?Csini??ACsinu?但AC=OC=r 故得PC ?s?rsini??s?r和P?Cs??rsini??s??r
rsinu和?rsibu?以折射定律nsini?n?sini?代入，得： s???r?nsinun?nsinu?(s?r)对于近轴光线： sinu?u?AOsAOs? sinu??u??代入上式，得：
? ? ? s ? r （2） sn?nn??n对于其他六种情形不再赘述，只把结论写下来。 虚物实象，球心在右的情形：
nn??n?? s? s r n? （3）
n?nn??ns?n?snrn??n虚物虚象，球心在右的情形 ? ? ? （4）
? ? （5）实物实象，球心在左的情形 s ? ? s r实物虚象，球心在左的情形 ? ? ? ? （6）
? （7）虚物实象，球心在左的情形 s ? ? s rn?s?nsn??nrn?nn??n虚物虚象，球心在左的情形 ?
n?s? ?
ns ? ?
r （8）
n??n对于单球面折射，就有八个不同的物象公式，太复杂了，若引入符号法则，但目前各国光学书籍或文献的符号法则不统一[1]；如若引入新笛卡尔符号法则[2]，就可以把各种情形下的单球面折射物象公式统一为：
n?s??ns?n??nr这样给研究问题带来很大方便。 2 可从单球面折射公式推出其他公式
单球面折射的主要公式有：
n?nn??n?物象公式:???s?sr?n??象方焦距:f??r?n??n?n?r?物方焦距:f??n??n??f?f??1?高斯公式:ss??牛顿公式:xx??ff???横向放大率:??s?n?sn??
2.1 从单球面折射公式出发推出球面反射公式
对于球面反射，物空间与象空间重合，若入射光从左向右，那么反射光从右向左。在（9）式中可令n???n，则有：
2.2 从单球面折射公式出发推出平面反射公式
在单球面折射公式中，令n???n,r??(9)
则有：
2.3 从单球面折射公式出发推出平面折射公式
在单球面折射公式中，令r??，则有：
2.4 从单球面折射公式出发推出薄透镜公式
对对于透镜，见图3。
采用逐个球面成象法，再令透镜厚度t=0，则有：
?????????????????????图3 由单球面折射推导薄透镜成象
fig.3 deducing the image formation of a thin lens ac-cording to refraction of single spherical surface
物象公式:n2s??n1s?n?n1r1n2?n2?nr2
（13）
象方焦距:f??n?n1r1?n2?nr2n2?nr2物方焦距:f??n1n?n1r1fs??高斯公式:当n1?n2横向放大率f?s?1
?1s?11f?s?n1n1n2n2s?s??:??s?
s3、结论
掌握了上述推导方法，对几何光学中公式的记忆会带来很大方便。另外，引
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