【答案】（1）f?x?的极小值为0，极大值为
4?4?2；（）?0,2?. 2e?e?【解析】（1）对函数求导得f'?x??进而得到f?x?的极值；
x?2?x?，再解导数不等式求得函数的单调区间，xe（2）由（1）得函数在??,0?递减，在?0,2?递增，在?2,???递减，比较f?0??0，
2?1???f?2??4e?1?，的大小及x?0时，函数值大于0，即可得到答案. f????e2?2?4【详解】 （1）由f'?x??x?2?x?， xe当f'?x??0时，解得0?x?2，当f'?x??0，解得x?2或x?0， 故函数f?x?的增区间为?0,2?，减区间为???,0?，?2,???， 所以f?x?在x?0处取得极小值，且为f?0??0，
f?x?在x?2处取得极大值，且为f?2???1???4. e2（2）由（1）得函数f?x?在??,0?递减，在?0,2?递增，在?2,???递减,
2则f?0??0，f?2??由
4e?1?，， f????e2?2?422?e22?ee16?e2e16?2e28?e2?1?4 ，f?2??f????2?????222244e4e?2?e2e2e而e?2.75，22?2.8，可得f?2??f???????1??， ?2?x2又当x?0时，f?x??x?0，
e故函数f?x?在区间??【点睛】
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?1??4?,???上的值域为?0,2?. ?2??e?本题考查利用导数研究函数的单调区间、求函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将函数的极值与区间端点函数值的大小进行比较，同时注意函数值的正负.
19．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30] 合计 频数 10 24 m 2 M 频率 0.25 n p 0.05 1
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数． 【答案】见解析
10＝0.25，所以 Mm4?M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.M4024因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.
40?5【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，
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所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60. (3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是0.6，所以样本中位数是15＋
15?2024＝17.5.因为n＝＝ 2400.5?0.25≈17.1，估计这次学生参加社区服务人 a数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋ 27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25. 【考点】中位数、众数、平均数.
??x?cos?20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?，（?为参数），以坐标
??y?3sin?原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
?sin(??)?32.
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.
?413y2【答案】（1）C1?x??1，C2?x?y?6?0（2）22，P(?,)
2232【解析】（1）将C1参数方程中的参数消去，求得C1的普通方程；利用两角差的正弦公式、极坐标化为直角坐标的公式将C2的极坐标方程转化为直角坐标方程.
（2）利用点到直线的距离公式以及正弦函数最值的求法，求得PQ的最小值及此时P的直角坐标. 【详解】
?x?cos???x?cos??y22（1）由?得?y，两边平方并相加得x??1.
?sin?3??y?3sin??3?由?sin(??)?32得?cos???sin??6?0，即x?y?6?0.
?4???2sin?????6，当cos??3sin??6（2）设Pcos?,3sin?，则6??d??22??4????22，也即PQ的最小值为22，此时sin?????1时，d的最小值为6?2?第 13 页 共 16 页
???6??2,??2?1331，所以sin??,cos???，所以P(?,). 32222【点睛】
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查点到直线的距离公式，考查曲线参数的运用，属于中档题. 21．已知函数f?x??x?alnx.
2（1）若函数f?x?在点3,f?3?处切线的斜率为4，求实数a的值； （2）求函数f?x?的单调区间；
?a2?a（3）若函数g?x???1??lnx?f?x??2x在1,4上是减函数，求实数a的取值范围.
22????????2a?2a?【答案】（1）6；（2）单调递减区间是?（3）?0,2??，单调递增区间是??2,????；
?????7??,??? ?16??【解析】（1）利用导数的几何意义得到f??3??4，从而求出a的值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为g??x??0在1,4上恒成立，再化为
??a?12121,4??在?1,4?上的最大值即得a的取值范围. 在上恒成立，再求??x2xx2xaa，而f??3??4，即2?3??4，解得a?6. x3【详解】
（1）f??x??2x?（2）函数f?x?的定义域为?0,???.
①当a?0时，f??x??0，f?x?的单调递增区间为?0,???；
?2a??2a?2x?x?????. 2②当a?0时，22a2x?a???f??x??2x????xxx当x变化时，f??x?,f?x?的变化情况如下:
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??2a?2a?0,,??fx. 由此可知，函数??的单调递减区间是?，单调递增区间是???????2???2?121ax2?2x?1. （3）g?x??lnx?ax?2x，于是g??x???ax?2??2xx因为函数g?x?在1,4上是减函数，所以g??x??0在1,4上恒成立，
????ax2?2x?1即?0在?1,4?上恒成立.
x又因为函数g?x?的定义域为?0,???，所以有ax2?2x?1?0在[1,4上恒成立.
??1211??x?1，所以有 t?，设，则x2x4x12a?t2?2t??t?1??1，?x?1，
4172当t?时，?t?1??1有最大值?，于是要使g?x??0在?1,4?上恒成立，只需
4167a??，
16于是有a?即实数a的取值范围是??【点睛】
（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键有3点，其一是先转化为g??x??0在1,4上恒成立，其二再化为
?7?,???. ?16???a?12121,4??在?1,4?上的最大值即得a的取值在上恒成立，其三是换元求??x2xx2x范围.
x2y222．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1，F2，A,B是其左右
ab顶点，点P是椭圆C上任一点，且?PF1F2的周长为6，若?PF1F2面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；
（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两个不同点，证明：直线AM于
BN的交点在一条定直线上.
x2y2【答案】(1) ??1 (2)见解析
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【解析】（1）利用椭圆的定义，可求出?PF1F2周长的表达式，当P点是椭圆的上（或下）顶点时，VPF1F2面积有最大值为3，列出等式，结合a2?b2?c2，求出椭圆方程；
（2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线AM与BN的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论． 【详解】
?2a?2c?6,?1?解：（1）由题意得??2bc?3, ?2222??a?b?c,?c?1,?x2y2??b?3, ?椭圆C的方程为??1；
43?a?2,?（2）由（1）得A??2,0?，B?2,0?，F2?1,0?，设直线MN的方程为x?my?1，
?x?mx?1?22M?x1,y1?，N?x2,y2?，由?x2y2，得?4?3m?y?6my?9?0，
?1??3?4?y1?y2??6m93yy???myy?，，?y1?y2?， 12124?3m24?3m22y1y?x?2?，直线BN的方程为y?2?x?2?， x1?2x2?2Q直线AM的方程为y??y1y2x?2y2?x1?2?my1y2?3y2x?2?x?2???3， ????，?x1?2x2?2x?2y1?x2?2?my1y2?y1?x?4，?直线AM与BN的交点在直线x?4上.
【点睛】
本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题．
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2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学（实验三部）高二3月月考数学（文）试题（解析版）
