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3.3 空间两点间的距离公式
学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．
知识点 空间两点间的距离公式
思考 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？
梳理 两点间的距离公式
(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝x＋y＋z. (2)空间中
2
2
2
P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝y1－y2
2
x1－x2
2
＋＋z1－z2
2
.
类型一 求空间两点间的距离
例1 已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出点D，N，M的坐标；
1
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(2)求线段MD，MN的长度．
反思与感悟 求空间两点间的距离的步骤
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
类型二 求空间点的坐标
例2 已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________． 引申探究
1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？
2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？
2
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反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．
跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．
类型三 空间两点间距离公式的应用
例3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
反思与感悟 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体3
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现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可．
跟踪训练3 在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．
1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( ) A．(1,1,1) C．(2，－3,5)
B．(1,2,2) D．(3,0,4)
2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是( ) A．－3或4 C．3或－4
B．6或2 D．6或－2
3．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为( ) A.11 C．112
B．211 D．311
4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点
E与AB的中点F的距离为( )
A.2a C．a
B.2
a 2
1D.a 2
4
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5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．
答案精析
知识点 思考
a2＋b2＋c2.
题型探究
例1 解 (1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)． (2)|MD|＝＝14， |MN|＝
1－2
2
1－0
2
＋2－0
2
＋3－0
2
＋2－1
2
＋3－0
2
＝11.
跟踪训练1 解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝＝5， |EF|＝
0－1
2
1－0
2
＋1－1
2
＋0－2
2
＋1－0
2
＋2－0
2
＝6.
例2 (0,0,6)
解析 设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得
4－0＝
2
＋5－0
2
2
＋6－z2
2
2
－5－0＋0－0＋10－z，
解得z＝6. 5
2017_2018版高中数学第二章解析几何初步3_3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2
