新课标七年级数学竞赛讲座
第二十八讲 计数方法
所谓计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来．
当研究的对象比较简单，且数目也不大时，枚举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，数出总数即可．
当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法…，在第 n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1 + m2+…+mn种不同的方法．
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1·m2·…mn种不同的方法．
例题
【例1】 如图，从甲地到乙地共有4条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丙地有5条路可走，那么从甲地到丙地共有 条路可走．
(重庆市竞赛题)
思路点拨 从甲地到丙地可分两类办法；直达和转乙地．
注： 计数方法原理属于组合数学这门范畴，随着计算机科学的迅猛发展，教学学科原有的平衡被打破了，组合数学这门古老的数学学科又焕发出新的活力． 使用乘法原理与加法原理的不同之处在于：在用加法原理时，完成一件事有几类方法，不论用哪一类方法，都能完成这件事；而用乘法原理时，完成一件事情可分为几步，只有每 步都完成了，这件事情才得以完成．
【例2】 右图中的小方格是边长为1的正方形，则从到中一共可以数出( )个正方形． A．24 B．210 C 50 D．90
( “五羊杯”邀请赛题)
思路点拨 图中的正方形可以分成边长为l，边长为2，边长为3，边长为4这4种类型，分别求出每种规格的正方形个数．
【例3】 我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点?一般地， n条直线最多有多少个交点?说明理由．
思路点拨 从特殊情况人手，由简到繁，深入思考，从中发现规律．
【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字，可以组成 (1)多少个四位数，其中有多少个奇数，有多少个偶数?
(2)多少个没有重复数字的四位数，其中有多少个奇数，多少个偶数?
思路点拨 要确定四位数，必须一位一位来考虑，显然计数时，需要用乘法原理，(2)
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问与(1)问的差别在于，增加了“没有重复”的限制．
【例5】 两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段：①同一直线上的点之间不连接．②连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点． (1)画图说明当n＝1，2，3时，连接的线段最多各有多少条?
(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条，证明你的结论； (3)当n＝2003时，所连接的线段最多有多少条? ( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 把直线标记为l1，l2，它们上面的点从左到右
分别为人A1，A2，A3，…An和B1，B2，B3…Bn，设这n对点
之间连接的直线段最多有pn条，解题的关键是探讨pn+1与pn
的关系．
注： 运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复、无一遗漏．因此，枚举法常与分类法结合使用，几何计数有以下常见分类方式：
(1)按图形的类型分类；(2)按图形的大小分类；(3)选定参照图形分类．
解几何计数问题时，从特殊情况入手，仔细观察、归纳，递推，猜想，发现规律．是一种行之有效的方法． 注：你知道这些结论吗?
(1)在一条直线上若有n个点，则图中以这些点为端点共有条射线；
(2)平面面上若有n个点，经过其中每两点画一条直线，则最多可以画 (3)平面上若有n条直线两两相交，则交点个数最多有
1n(n?1)条线段，共有2n21 n(n?1)条直线；
21n(n?1)个； 21(4)从一点引出n条射线(其中任何两条射线都不共线)，则图中共有n(n?1)个小于平
2角的角．
学历训练
1．第一个口袋中装2个球，第二个口袋中装4个球，第三个口袋中装5个球，所有三个口袋中的球各不相同．
(1)从口袋中任取一个球，共有 种不同的取法． (2)从三个口袋中各取一个球，有 种不同的取法． 2．如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、…A10这十个点中任意三点为顶．．点，共能组成 个等腰直角三角形．
(泉州市中考题)
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3．画一条直线，可将平面分成2个部分，画2条直线，最多可将平面分成4个部分，那么，画6条直线最多可将平面分成 个部分．
( “希望杯”邀请赛试题)
4．一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送．例如信息到b2；点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条途径传送，则信息由A点到达d3的不同途径共有( ) ．
A．3条 B．4条 C．6条 D．12条
(南宁市中考题) 5．如图，图中不同的线段的条数有( )．
A．52条 B．63条 C．141条 D．154条
6．平面内的7条直线任两条都相交，交点数最多有a个，最少有b个，则a+b等于( )． A．42 B．41 C．21 D．22
(北京市竞赛题)
7．如图，在表板上有4个开关，如果相邻的2个开关不能同时是关的，那么所有不同的状态有( )．
A．4种 B．6种 C．8种 D． 12种
(江苏省竞赛题)
8．如图，左右相邻两点，上下相邻两点之间距离都等于1厘米，把这些点连接起来，作为三角形的顶点，那么可以组成多少个直角三角形? ● ● ● ● ● ● ● ● ●
9．用数字0，1，2，3，4可以组成多少个 (1)四位数? (2)四位偶数?
(3)没有重复数字的四位数? (4)没有重复数字的四位偶数?
10．5人站成一排照相，其中一人必须站在中间，有 种站法． 11．在l到300这300个自然数中，不含有数字3的自然数有 个．
12．跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格；在格中，每次可向前跳l格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有 种方法．
(江苏省竞赛题)
13．如图，由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中，包含“※”在内的长方形及正方形一共有 个．
(北京市“迎春杯”竞赛题)
14．如图，正方形被分成9个相同的小正方形，一共16个顶点，以其中不在同一直线上的
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3个顶点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影面积相等的三角形有 个．
15．如图，一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形)． A．64 B．63 C．60 D．48
(2000年“五羊杯”竞赛题)
16．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指数轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对(a，b)所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的个数为m，，则
m等于( )． n1153A． B． C． D．
26124 (山东省竞赛题) 17．如图，从A点到B点(只从左向右，从上到下)，共有( )种不同的走法． A．24 B．20 C．16 D．12 (重庆市竞赛题)
18．平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分?一般地，n个圆最多能把平面分成多少个部分?
19．5个人站成一排照相．
(1)若甲、乙两人必须相邻，则有多少不同的站队方法? (2)若甲、乙两人必不相邻，则有多少不同的站队方法?
20．将编号为1，2，3，4，5的5个小球放人编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中只放入一个．
(1)一共有多少种不同的方法?
(2)若编号为1的球恰好放在1号盒子中，共有多少种不同的放法?
(3)若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)共有多少种不同的放法? ( “希望杯”邀请赛试题)
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参考答案
(完整版)七数培优竞赛讲座第28讲计数方法
