高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式试题 新人教A版选修4-5

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1.绝对值三角不等式

课后篇巩固探究

A组

1.设ab>0,下面四个不等式:

①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.

其中正确的是( ) A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

解析∵ab>0,∴a,b同号.

∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.

答案C 2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于( ) A.10

B.3

C.7

D.4

解析因为|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4. 答案D 3.已知|a|≠|b|,m=A.m>n

,n=,则m,n之间的大小关系是( ) C.m=n

D.m≤n

B.m

解析由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

∴答案D ≤1≤.∴m≤n.

4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2

( )

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C.|a+b|+|a-b|=2 D.不确定

解析当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.

答案B 5.若关于x的不等式|x|+|x-1|

B.(-1,1)

C.(-∞,1] D.(-∞,1)

解析∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,

∴若关于x的不等式|x|+|x-1|

答案C 6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是 ,最小值是 . 解析因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5. 答案5 1

7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .

解析设f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.

∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,

即f(x)max=1,∴a≥1. 答案[1,+∞)

8.不等式≥1成立的充要条件是 .

解析≥1?≥0?

(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0). 而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.

∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.

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答案|a|>|b|

9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证证明∵m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,

<2.

∴

∴

=故原不等式成立. 10.=2.

导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).

(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;

(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围. 解(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,

即|x-1|+|x-5|>a. 设g(x)=|x-1|+|x-5|, 由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4, 当a=2时,∵g(x)min=4,

∴f(x)min=log2(4-2)=1.

(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.

∵|x-1|+|x-5|-a>0,

∴a

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∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).

B组

1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( ) A.1

B.2

C.3

D.4

解析∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|

=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)

≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3, 当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0, 即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,

∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.

答案C 2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于 . 解析令y=|2x+1|-|x-4|,

则y=

作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-.

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时,函数取得最小值--------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

答案-

3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为 .

解析答案4 4.下列四个不等式:

=4.

①logx10+lg x≥2(x>1); ②|a-b|<|a|+|b|;

③≥2(ab≠0);

④|x-1|+|x-2|≥1,

其中恒成立的是 .(把你认为正确的序号都填上) 解析∵x>1,∴lg x>0,

∴logx10+lg x=+lg x≥2,①正确;

当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;

∵ab≠0,同号,

∴≥2,③正确;

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