中考数学中的折叠问题
为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。
例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B'M或B'M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ） A、85° B、90° C、95° D、100° 分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。 由题意可知：∠BME=∠EMC'D'AFC'B'EBMCD，∠CMF=∠FMC'，
?BMC'??CMC'?180°，又C'M与B'M重合，
则∠EMF=∠EMC'+∠FMC'=(?BMC'??CMC')?121?180°= 90°，故选B。 2AEE'例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E、D分别落在E'、D'。已知∠AFC=76°，则?CFD'等于（ ）
A、31° B、28° C、24° D、22°
分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：B ?AFD??AFD'?180°-76°=104°，则?CFD'=104°-76°=28°，故选B。
C例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、D'FDOC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A'的位置，若OB=5，
1tan?BOC?，则点A'的坐标为 。
2分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。
yCB 例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次A'F 折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个G OA操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同的操作，分别将折痕画在矩形．．
E x中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。
例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。将纸片折叠后，使顶点A与边CD上的点E重合。
(1) 如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=
2，求DE的长；(2) 如果折痕FG3分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。 分析根据轴
DFEC与解答：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=对称的性质，得M EF=AF=DFEC2，∠D=90°，321。 ∴DF=AD-AF=N ，在Rt△DEF3O 32A中,由
G图1B3?2?图?21??勾股定理得 DE????。 ??333????AG2B（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO， 取AD的中点M，连接MO，则MO=
11DE，MO∥DC。设DE?x，则 MO?x，在矩形ABCD中， 22∠C=∠D=90° ∴AE为△AED的外接圆的直径， O为圆心。延长MO交BC 于 点N，则ON∥CD，∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形。 ∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=2?的半径。 ∴ OE=ON=2?1x ∵ △AED的外接圆与BC相切，∴ ON是△AED的外接圆21x，AE=2ON=4-x。在Rt△AED中，AD2?DE2?AE2 ∴2151511712?x2?(4?x)2 解这个方程，得x?。∴DE?，OE?2?x?。 根据轴对称
88216FOOEOE17， ∴FO? 又??AD 可得FO?ADDEDE30的性质，得AE⊥FG，∴ ∠FOE=∠D=90°。 又 ∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED，∴
AB∥CD， ∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO ∴△FEO≌△GAO ∴FO=GO ∴FG?2FO?1717， ∴折痕FG的长是。 1515中考实战一:
一、选择题
1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（ ） A．4C．4
B．3 D．8
2.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在
C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（ ） Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30 4.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠
纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE =（ ）
A．60° B．° C．72° D．75°
5. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）. 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A．34cm B．36 cm C．38 cm2 D．40 cm2 二、填空题
7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠BEG °． 8. （苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度． 三、解答题
9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式； 在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ. 求证：△PBE∽△QAB；
你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；
2
2
如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？ 11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．
12. （烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状样的(阴影部分表示纸条的反面)：
，折叠过程是这
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：
为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围． (2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．
13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
中考数学中的折叠问题
