高中数学-生活中的优化问题举例练习
21．某产品的销售收入y1(万元)是产量 (千台)的函数：y1?17x(x?0)，生产成本y2(万32元)是产量 (千台)的函数：y2?2x?x(x?0)，为使利润最大，应生产
A．6千台 C．8千台
B．7千台 D．9千台
2．要做一个圆锥形的漏斗,且其母线长为20 cm.要使其体积最大,则高为 A．
3cm 3 B．
103cm 3203cm 3C．
163cm 3 D．
3．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为
A．32米，16米 C．40米，20米
B．30米，15米 D．36米，18米
4．某工厂生产某种产品,固定成本C为20000元,已知总收益P(元)与年产量 (件)的函数关
12??300x?x(0?x?400)2系是P(x)??，则总利润最大时,每年应生产的产品件数为
??80000?100x(x?400)A．100 C．200
B．150 D．300
5．在半径为的半圆内有一内接梯形，其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，该梯形的上底长为
A．
r 2 B．
3r 2C．3r 3 D．
6．某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k?0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为
x(x?(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为
A．3.2% C．4%
B．2.4% D．3.6%
7．已知某矩形广场面积为万平方米,则其周长至少为______米.
8．电动自行车的耗电量y与速度之间的关系为y?最小，则其速度应定为______.
13392x?x?40x(x?0)，为使耗电量32
9．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每平方米的造价为15元,箱壁每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为 A．900元 C．818元
B．840元 D．816元
10．已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于
A．
23R 3 B．
3R 3C．
3R 2
D．3R
11．某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元.
如果团体的人数超过100人，那么每超过人，每人平均收费降低元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团)，要使旅行社的收费最多，旅游团组团人数为
A．130 C．150
B．140 D．160
12．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直
径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则矩形横断面的高和宽分别为
A．3d，3d 3 B．
36d，d 336d，3d 3C．
63d，d 33 D．
13．已知某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，其利润(单位：万元)分别为
l1?5.06x?0.15x2和l2?2x，其中为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆
汽车，则该公司能获得的最大利润为__________万元.
14．如图，有一杠杆，在它的一端距支点1m处挂一个49kg的物体,同时加力F(单位：N)
于杆的此端使杆保持水平平衡.若杠杆本身每米重2kg,则所加的力最小时杠杆的长度是__________.(g取10N/kg)
1 A 2 D 3 A 4 D 5 D 6 A 9 D 10 A 11 C 12 C 232321．A 【解析】设利润为y，则y?y1?y2?17x?(2x?x)??2x?18x(x?0)，∴
y???6x2?36x
??6x(x?6).令y??0，解得x?0或x?6，经检验知x?6既是函数的极大值点又是
函数的最大值点，故选A.
2．D 【解析】设圆锥的高为h cm(0?h?20)，则圆锥的底面半径
r?202?h2?400?h2(cm)，则体积
1111V?V(h)??r2h???400?h2?h???400h?h3?，∴V????400?3h2?，令
33331V????400
3?3h2???，解得h?的最大值点，故选D.
203203(负值舍去)，易知h?既是函数的极大值点又是函数333．A 【解析】设新建堆料场与原墙平行的一边长为米，与原墙垂直的一边长为y米，则
xy?512，新建围墙的长l?x?2y?512512?2y(y?0)，令l???2?2?0，解得yyy?16(负根舍去).当0?y?16时，l??0；当y?16时，l??0.所以当y?16时，函
数l?512512?2y(y?0)取得极小值，也就是最小值，此时x??32. y16D
【
解
析
】
由
题
意
，
得
总
利
润
函
数
为
4．
12??300x?x?20000(0?x?400)W(x)?P(x)?C??2,求导，得
??60000?100x(x?400)?300?x(0?x?400)?W(x)??,令W?(x)?0,解得x?300,根据问题的实际意义,知当
??100(x?400)x?300时,总利润最大.
5．D 【解析】设梯形的上底长为2x(0?x?r)，高为，面积为S.
∵h?r?x，∴S?222r?2x?r2?x2?(r?x)?r2?x2.∴2?
S??r2?x2?x(r?x)r?x22r2?rx?2x2r2?x20?x??(r?2x)(r?x)r2?x2.令S??0，得x?r3(x??r舍去)，则h?r.当22rrr时，S??0；当?x?r时，S??0.∴当x?时，S取极大值，也就是最222大值.∴当梯形的上底长为时，它的面积最大.
6．A 【解析】依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y?0.048kx?kx(0?x?0.048)，故
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