专题8 平面解析几何
解答题
1．（2021·全国高三专题练习）某城市决定在夹角为30的两条道路EB?EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB?2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45?，交OD于G.
（1）若OE?3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值； （2）若椭圆的离心率为3，当线段OG长为何值时，游乐区域OMN的面积最大？ 2【答案】（1）【解析】
2610；（2）当线段OG长为千米，游乐区域△MNP的面积最大.
23x2（1）由题可设椭圆方程为2?y2?1，可得出直线EF的方程为y??3x?3，根据题意可得直线EF与
a椭圆至多只有一个交点，联立方程利用??0可求出a的范围；
x2（2）由题可得椭圆方程为?y2?1(x?0)，设G?m,0?，将直线MN的方程x?y?m?0?m?2?代入
4椭圆，利用韦达定理表示出三角形面积可求出最值. 【详解】
（1）以点O为坐标原点，OD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
x2y2设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?，因为OE?3，则E?0,3?，
ab又EB?EF夹角为30，所以直线EF的方程为y??3x?3. 又因为AB?2，则b?1，
x2则椭圆方程为2?y2?1，
a为了不破坏道路EF，则直线EF与椭圆至多只有一个交点，
?x22?2?y?1联立方程组?a，
?y??3x?3?得1?3a?2?x2?63a2x?8a2?0，
由于直线EF与半椭圆至多只有一个交点， 则27a?1?3a4?2??8a2?0，又a?0，得0?a?26.
3当a?2626. 时半椭圆形主题公园与道路直线EF相切，所以amax?33（2）设椭圆焦距为2c， 由椭圆的离心率
c3，b?1，a2?b2?c2，解得a2?4， ?a2x2所以，椭圆的方程为?y2?1(x?0).
4设G?m,0?，又MN倾斜角为45?，且交OD于G， 所以直线MN的方程为x?y?m?0?m?2?，
?x2??y2?122由?4得5y?2my?m?4?0， ?x?y?m?2m2?4设M?x1,y1?，N?x2,y2?，则y1?y2??m，y1y2?，
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y1?y2?则S△OMN??y1?y2?2?4m24m2?16?4?4y1y2???5?m2， ??5?25?51142?OG?y1?y2?m?5?m2?m2?5?m2??1， 225510时，OMN的面积最大. 2当且仅当m?所以当线段OG长为
10千米，游乐区域△MNP的面积最大. 2x2y22．（2021·全国高三专题练习（理））已知椭圆C1:2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2.点
ab1??A?3,?在椭圆上；直线AF1交y轴于点B.且AF2??2OB.其中O为坐标原点.
2??（1）求椭圆C1的方程;
x2y2（2）直线l斜率存在，与椭圆C1交于D,E两点，且与椭圆C2:2?2???0???1?有公共点，求?DOEab面积的最大值.
x2【答案】（1）（2）?S?DOE?max?y2?1；
4【解析】
（1）由AF2??2OB可得c?1?22???,0?????2??. 1?1,???1??2??3，再将点A?3,?代入方程化简即可求得方程；
2??1（2）设直线l的方程y?kx?m,代入椭圆方程，结合韦达定理求得弦长DE，由点到直线距离公式与三角形面积公式求得面积表达式，通过化简整理即可得结果. 【详解】
c?3,?解:?1? F1??c,0?,F2?c,0?设由AF2??2OB可得?得c?3?0 即c???1????2?0,yB? 2?3 1??另外A?3,?在椭圆上，
2??
专题14 平面解析几何(解答题)--《2021届新高考地区优质数学试卷分项解析03》【解析版】
