第2课时 公式五和公式六
学习目标：1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．公式五
(1)角π
2
－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图1-3-4所示．
图1-3-4
(2)公式：sin??π?2－α???＝cos_α， cos??π?2－α???
＝sin_α.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系π?π2＋α＝π－??2－α???
.
(2)公式：sin??π?2＋α???＝cos_α，
cos??π?2＋α???
＝－sin_α.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
[提示] sin??π?2＋α???＝sin???π－??π?2－α??????
＝sin??π?2－α???
＝cos α， cos??π?2＋α???＝cos???π－??π?2－α??????＝－cos??π?2－α???
＝－sin α.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．( ) (2)在△ABC中，sin
A＋B＝cosC22
.( )
1
(3)sin?
?π?2＋α???＝sin??π?2－－α???
＝cos(－α)＝cos α.( )
[解析] (1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角． (2)正确．因为A＋B2＋C2＝π
2，由公式五可知sinA＋BC2＝cos2
. (3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知sin 19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.
m [cos(－70°5′)＝cos 70°5′＝cos(90°－19°55′)
＝sin 19°55′＝m.]
3．计算：sin2
11°＋sin2
79°＝________. 1 [因为11°＋79°＝90°， 所以sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin2
11°＋cos2
11°＝1.] 4．化简sin?
?3π?2＋α??
?
＝________.
－cos α [sin??3π?2＋α???
＝sin??π?π＋2＋α???
＝－sin??π?2＋α???
＝－cos α.] [合 作 探 究·攻 重 难]
利用诱导公式化简求值 (1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( ) 2
A．1－mm
B．1－m2
2
C．－1－mm D．－1－m2
(2)已知sin??π?3－α??1?＝?π?2，则cos??6＋α??
的值为________．
239°＝180°＋59°
[思路探究] (1)149°＝180°－31°→选择公式化简求值
59°＋31°＝90°
(2)??π?3－α???＋??π?6＋α??π
?＝2
→选择公式化简求值
2
1
(1)B (2) [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－
2sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31° ＝1－cos31°＝1－m. (2)cos?
π? ?π＋α?＝cos?π－?－α????????6??2?3?
2
2
?π?1
＝sin?－α?＝.]
?3?2
母题探究：1.将例1(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos?[解] cos?
?5π＋α?的值．
?
?6?
?5π＋α?＝cos?π＋π＋α?
??23?
?6???
1?π?＝－sin?＋α?＝－.
2?3?
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin?
?7π＋α?的值．
?
?6?
[解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sin?
?π－α?＝1，所以π－α是第二象限角，
?2
3?3?
3?π?所以cos?－α?＝－， 2?3?所以sin?
[规律方法] 解决化简求值问题的策略：
1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. 提醒：常见的互余关系有：
ππππ
－α与＋α，＋α与－α等；,常见的互补关系3644
?7π＋α?＝sin?π＋π＋α?＝－sin?π＋α?＝－cos?π－α?＝3.
????6??3?26?6???????
π2ππ3π
有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
3344
(1)求证： 利用诱导公式证明恒等式 3π??π??2sin?θ－?cos?θ＋?－1
2??2?sin θ＋cos θ?
＝. 2sin θ－cos θ1－2sinπ＋θ
3
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时公式五和公式六学案新人教A版必修4
