本讲教育信息】一. 教学内容：
导数——平均变化率与瞬时变化率
二. 本周教学目标：
1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵． 、通过函数图象直观理解导数的几何意义．2 三. 本周知识要点： （一）平均变化率
1、情境：观察某市某天的气温变化图
上的平均变化率x]）x在区间[x，2、一般地,函数（f21
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（二）瞬时变化率——导数
1、曲线的切线
的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ如图，设曲线c是函数，当 点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限 位置上的直线PT，叫做曲线
c在点P 处的 切线
时，即当的斜率为割线PQ，无 P的斜率．限趋近于点 、瞬时速度与瞬时加速度2.运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度1）瞬时速度定义： 2）确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：
要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA，求出物体在这段位1移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s＝s（t），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t，0t+Δt，现在问从t到t+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：000
位移为Δs＝s（t+Δt）－s（t）（Δt称时间增量） 00 平均速度 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.
现在是从t到t+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0．当Δt00
时，位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体→0 t
的瞬时速度t在＝ 0 平均变化率 3、导数
，当Δt→0时，平均速度同样，计算运动物体速度的
那么这个常数为在t＝ t时的瞬时加速度．0 无限趋近于一个常数，
设函数a,b）上有定义，在（时，比值．若无限趋近于0
．导
＝）在xf无限趋近于一个常数A处可导，并称该常，则称（x
数，记作处的在为函数A数 义
上点（）处的切线的斜率．是曲线 几何意
个
（导数）：此时对于每在开区间如果函数导函数 内的每点处都有导数，
，从而构成了一个新的函数，都对应着一个确定的导数一个，称这 也可记作，简称导数．函数在开区间内的导函数，为函数
【典型例题】
）， 的平均变化率．
后容器甲中水的体积t s水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，（单例1、
计算第一个10s位：内V
解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为
内容器甲中水的体积的平均变化率为． 即第一个10s 上函数已知函数，，分别计算在区间[－35]，[0，，－1]例2、在[－函数3，－1]上的平均变化率为 解：在[－3,－1]上的平均变化率为
在[0，5]函数上的平均变化率为
上的平均变化率为在[0，5]
及的平均变化率．
分别计算函数1.001]，[1，1.1]，[1，，3例、已知函数2]，[1，3]，[1在区间 上的平均变化率．函数在区间[1，3]上的平均变化率为 解：函数 [1，2]上的平均变化率为在在[1，1.1]上的平均变化率为函数
在[1，1.001]上的平均变化率为函数
2，其中位移单位m，时间单位s，t）＝gtg＝9.8 例4、物体自由落体的运动方程s＝s（2 m/s.. 求t＝3这一时段的速度一小段时间［Δt无限趋于0
，位置改变量Δ3，3+g－·3Δt＝（6+3+g（Δt）解：取 22＝s］
无限趋于3g＝ 29.4 m/s．当 时，
平均速度g（6+tΔt）Δt ）Δ ，
2
+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s＝2ts），例5、已知质点M按规律
时，求0.01t＝，）当t＝2Δ（. 1时的瞬时速度.
时，求0.001.＝2，Δt 2（）当t＝（3）求质点M在t ＝2
即平均速度，当Δt越小，求出Δ分析：s即位移的改变量， 即时间的改变量，
Δt
的.越接近某时刻的速度 ∵
＝4t+2Δt解：
时，＝4×2+2×0.001＝8.002
时，0.01＝tΔ，2＝t）当1∴（ ．8.02 cm/s＝0.01×2+2×4＝
cm/s．2）当t＝2，Δt＝0.001（ ， （4t+2Δt）＝4t0t＝4×2＝8 cm/s
Δ（3）
2
+1，那么求此曲线在点P（x1，2）处的切线的斜率，以及切线例6、曲线的方程为y＝的方程．
2+），则割线PQ的斜率为：1+， 解：设Q（
斜率为2
∴切线的斜率为2．
切线的方程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．
【模拟试题】
2
则）， x,3+Δy（1,3）及邻近点Q（1+）＝＝（ ）1、若函数f（x2xΔ+1，图象上P
A. 4 B. 4Δx C. 4+2Δx D. 2Δx
，那么时，为2到、一直线运动的物体，从时间时，物体的位移为 ）（ 在时刻时该物体的瞬时速度； B. 从时间 到时，A. 物体的平均速度；
到当时间为时物体的平均速度从时间时物体的速度；C. D. 2上一点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线x3、已知曲线y＝2方程.
22
+1在点P（－2，54、求曲线y＝x）处的切线方程．
+4x在点x＝3、求y＝2x处的导数． 52（位移单位：m，时间单位：s），＝s（t）＝t6、一球沿
一斜面自由滚下，其运动方程是s求小球在t＝5时的瞬时速度 2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M27、质点M按规律s＝t在t＝2时的瞬时速度．
【试题答案】
1、B B2、
） 3、解：（1k ＝时，
∴点A处的切线的斜率为4.
2－x4＝y）即1－x（4＝2－y处的切线方程是A）点2（．
＝时，4k、解：
∴切线方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3. 222，x+16Δx）Δ）－（x2×3）＝+4×32（x2、解：＝2Δ5Δy＝（3+Δ）（+43+Δx+16 ∴时，y′|＝16 3x
t）＝10 m/s.10+（
＝
＝瞬时速度6、解：v时，Δ
∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.
、解：＝7tΔ8+2＝（）v时，瞬时速度＝ 8cm/s
导数平均变化率与瞬时变化率
