非常规方法在解析几何中的应用举隅

由天下分享时间：2024/12/12 13:33:48 加入收藏我要投稿点赞

非常规方法在解析几何中的应用举隅

摘要〕本文主要针对解析几何问题中，在用其相关概念的定义、定式和定法着手进行解题时出现的纷繁芜杂甚至难以处理的局面，从辩证思维的角度考虑，针对问题的不同情况，具体问题具体分析，运用对立统一的观点恰到好处地将矛盾转化，采用一些非常规的解题方法去分析思考，删繁就简，化难为易。〔关键词〕非常规解析几何应用方法

对于解析几何问题，我们若从相关概念的定义、定式（如公式、法则以及曲线的标准方程）和定法（即课本介绍的基本方法）着手进行思考分析，寻求解题策略，通常能行之有效，但有时也会出现解题过程纷繁芜杂甚至难以处理的局面。从辩证思维的角度考虑，针对问题的不同情况，具体问题具体分析，运用对立统一的观点恰到好处地将矛盾转化，采用一些非常规的解题方法去分析思考，往往能出奇制胜，删繁就简，化难为易。下面略举几例阐述说明，以飨读者。１曲线方程的非标准化处理

注：曲线方程的非标准化处理有着广泛的应用，如在求解尚未明确焦点所在轴的位置的圆锥曲线方程时，可通过设立mx2+ny2=1（m>0，n>0），mx2-ny2=1（mn>0）及y2=2ax或x2=2ay（a屹0）等非标准方程，有避免分类讨论，简化解题过程之功效。

2 欲简先繁的逆代换处理

3 设而不求的整体化处理

例3援过圆外一点p渊a袁b冤引圆x2+y2=r2 的两条切线，求经过两切点的切线方程。

解：设两切点为A 渊x1，y1），月（x2，y2），则两切线方程为x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，因为两切线都过点P渊a袁b冤，于是得x1a+y1b=r2，x2a+y2b=r2，由此可见，经过两切点A，月的直线方程为ax+by=r2。

注：以上先设切点坐标，但巧妙规避计算作整体处理，从而优化了解题过程。４椭圆方程的圆化处理

注：圆可视为椭圆的特例，椭圆问题的圆化处理使解题过程简化，使辩证思维体现得淋漓尽致。

６把点（直线）作为退化的圆锥曲线处理

例6援求过点粤（原圆，源）且与圆x2+y2-2x+4y-20=0 相切于点月（原猿，员）的圆的方程。

解：把点月（原猿，员）看做点圆（x+3）圆垣（y-1）圆越园，设过点圆与已知圆的公共点的圆系方程为x圆垣y圆-2x +4y -20 +姿[（x+3）圆垣（y-1）圆]=0，因为点粤（原圆，源）在所求圆上，代入圆系方程，得姿越原圆，所以所求圆方程为x圆垣y圆垣员源x原愿y垣源园越园。

例7援试证：双曲线的渐近线同该双曲线准线的交点在以中心为圆心，实半

轴为半径的圆上。