1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编
4、平面向量部分
2017A 7、在?ABC中，M为边BC的中点，N是线段BM的中点，若?A?为3，则AM?AN的最小值为 ◆答案：
?3，?ABC的面积
3?1
131AB?AC，AN?AB?AC，则 244★解析：由条件知AM???221??AM?AN??3AB?AC?4AB?AC?，
8??由3?S?ABC?13AB?ACsinA?AB?AC得AB?AC?4 2422所以AB?AC?2，所以3AB?AC?83，当且仅当AB?243,AC?2?43时取等。
221??则AM?AN??3AB?AC?4AB?AC??3?1。
8??
2016A 9、（本题满分16分）在?ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB，求sinC的最大值。
b2?c2?a2★解析：由数量积的定义及余弦定理知，AB?AC?cbcosA?．
2a2?c2?b2a2?b2?c2同理得，BA?BC?，CA?CB?．故已知条件化为
22b2?c2?a2?2(a2?c2?b2)?3(a2?b2?c2)
即a?2b?3c．………………………………8分 由余弦定理及基本不等式，得
2221222a?b?(a?2b2)222a?b?c3 cosC??2ab2ab?abab2 ??2??3b6a3b6a32所以sinC?1?cosC?7．………………………………12分 37．……………16分 3等号成立当且仅当a:b:c?3:6:5．因此sinC的最大值是
2015A 4、在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,边DC上（包含D,C）的动点P与线段CB延长线
上（包含B）的动点Q满足DP?BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA?PQ的最小值为 ◆答案：
3 4★解析：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t, l) （其中0?t?2），则由
|DP|?|BQ|得Q的坐标为（2，-t)，故PA?(?t,?1),PQ?(2?t,?t?1),因此，
133PA?PQ?(?t)?(2?t)?(?1)?(?t?1)?t2?t?1?(t?)2??．
24413当t?时，(PA?PQ)min?．
24
2005*2、空间四点A,B,C,D满足AB?3，BC?7，CD?11，DA?9，则AC?BD的 取值
A. 只有一个 B. 有二个 C. 有四个 D. 有无穷多个 ◆答案：A
?22★解析：注意到3?11?1130?7?9,由于AB?BC?CD?DA?0,则DA?DA=
2222(AB?BC?CD)2?AB2?BC2?CD2?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(AB?
2BC)?(BC?CD),即2AC?BD?AD2?BC2?AB2?CD2?0, ?AC?BD只有一个值为0，故选A。
2004*4、设点O在?ABC的内部，且有OA?2OB?3OC?0, 则?ABC与?AOC的面积的比为 A.2 B.
A35 C. 3 D. 231◆答案：C
B★解析：
解：如图，设面积?AOC?s，则?OC1D?3s，?OB1D??OB1C1?3s， BOSCC1D?AOB??OBD?1.5s．?OBC?0.5s，进而得?ABC?3s。
4平面向量-1981-2018年历年数学联赛分类汇编
