电磁场与电磁波第三章
3.7无限大导体平板分别置于x=0和x=d处，板间充满电荷，其体电荷密度为ρ=
ρ0xd
,极板间的电位分别为0和U0，如图所示，求两级
板之间的电位和电场强度。 解：由泊松定理得
d2φ1ρ0x
=? dx2ε0d解得φ=?
ρ0x36ε0d
+Ax+B
在x=0处，φ=0，故B=0 在x=d处，φ=U0，故U0=?故A=φ=?
U0d
ρ0x36ε0d
+Ad
+
ρ0d6ε0
d
ρ0x36ε0d
+(
U0
+
?φ?x
ρ0d6ε0
)x
ρ0x22ε0d
E=??φ=?ex=ex[
?(
U0d
+
ρ0d6ε0
)]
ql22C
3.8证明：同轴线单位长度的静电储能We=的电荷量，C为单位长度上的电容。 解：由高斯定理可知：
qlE(ρ)=
2περ故内外导体间的电压为
。式中ql为单位长度上
qlqlb
U=∫Edρ=∫dρ=ln 2πεaaa2περ则电容为C=
qlU
bb
=
2πεln
ba
b22211q1qbqlll
We=∫εE2dV=∫ε(ln= )2πρdρ=
22a2περ22πεa2C3.9有一半径为a,带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为ε1和ε2的两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电常量。
解：根据边界条件则E1t=E2t,故有E1=E2=E,由于D1=ε1E1,D2=ε2E2,所以D1≠D2，由高斯定理可得
D1S1+D2S2=q
即2πr2ε1E+2πr2ε2E=q
q
E= 22πr(ε1+ε2)导体球的电位为φ(a)=∫Edr=a电容为C=
qφ(a)
∞
∞1
dr∫2π(ε1+ε2)ar2q
=
q2π(ε1+ε2)a
=2π(ε1+ε2)a
12
q24π(ε1+ε2)a
(2)总的静能量为We=qφ(a)=
3.13在一块厚度为d的导电板上，由两个半径分别为r1和r2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体，如图所示。试求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；（3）沿α方向的两电极间的电阻。设导电板的电导率为σ。
解：（1）设沿厚度方向的两电极的电压为U1 则E1=
U1d
σU1dd
J1=σE1=
?(r22?r12)
2α
I1= J1S1=
σU1
故得到沿厚度方向的电阻为
U12d
R1== 22()I1ασr2?r1
（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2,则
I2I2
J2== S2αrdJ2I2
E2==
σσαrdI2r2
U2=∫E2dr=ln
αrdr1r1
故两圆弧面之间的电阻为
U21r2
R2==ln I2αrdr1
（3）设沿α方向的两电极的电压为U3,则
α
r2
U3=∫E3rd?
0
由于E3与?无关，故得
U3
E3=e?
αrσU3
J3=σE3=e?
αrσdU3σdU3r2
I3=∫J3?e?dS=∫dr=ln
αrαr1r1
沿α方向的电阻为
U3α
R3== r2I3σdln
r1
3.15无限长直线电流I垂直于磁导率分别为μ1和μ2的两种磁介质的分界面，如图所示，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和B2;（2）磁化电流分布。
r2
解：（1）由安培环路定理可知→=e?
H
I2πρ
则
μ0I
→ =μ0→=e? B1H2πρμI → =μ→=e? B2H2πρ（2）磁介质的磁化强度→=
M
1
μ0B22πμ0ρH
(μ?μ0)I1d1=ez?)=0 (ρ2πμρdρρ
0
→ ?→=e?
(μ?μ0)I
→ =?×M=ez
Jm
1dρdρ
(ρM?)
以z轴为中心，ρ为半径做一个圆形回路C，由安培环路定理得
1μIμ
I+Im=∮→?dl= Im=(?1)I
μ0Bμ0μ0
在磁介质表面，磁化电流面密度为
→ =→×→|
JmS
M
ezz=0
(μ?μ0)I
=eρ 2πμ0ρ3.19同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内外导体间填充有磁导率为μ1和μ2两种不同的磁介质，如题所示，设同轴线中通过的电流为I,试求：（1）同轴线中单位长度所存储的磁场能量；（2）单位长度的自感。
解：由边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度B1=B2=B=e?B,但磁场强度H1≠H2. （1）利用安培环路定理， 当ρ μ0Iπa2πρ2 μ0I B0=ρ 2πa2当a B1B2μ1μ2I 即πρ(+)=I,故B=e? μ1μ2π(μ1+μ2)ρ同轴线中单位长度储存的磁场能量为 1aB021bB21bB2 Wm=∫2πρdρ+∫πρdρ+∫πρdρ 20μ02aμ12aμ2 μ0I2μ1μ2I2b =+ln 16π2π(μ1+μ2)a（2）由Wm=LI2，则单位长度的自感为 21 2Wmμ0μ1μ2bL=2=+ln I8ππ(μ1+μ2)a3.21一个点电荷q与无限大导体平面的距离为d，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？ 解：利用镜像法求解。当点电荷q移到到距离导体平面为x的点p(x,0,0)时，其像电荷q′=?q,位于点(?x,0,0)处，像电荷在点p处产生的电场为 ?qEx)=ex 4πε0(2x)2′( 将点电荷q移到无穷远处时，电场所做的功为 22?qq We=∫qE′(x)?dr=∫dx=? 2()4πε2x16πεd00dd ∞ ∞ 外力所做的功为Wo=?We= q216πε0d 3.24一个半径为R的导体球带有的电荷量为Q,在球体外距离球心D处有一个点电荷q。（1）求点电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与Q同号且<( qQ RD3D2?R ?成立时，F表现为吸引力。 2)2D R 解：
电磁场与电磁波第四版第三章部分答案
