考纲要求： 1.了解幂函数的概念
专题08 幂函数与二次函数
2.结合函数y=x,y=x,y=x,y= ?? ,y= ?? 的图象,了解它们的变化情况 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 考情分析：
1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的热点
2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题,考查数形结合思想
3.题型主要以选择题、填空题为主,另外在解答题中常与导数的应用综合,属中高档题 知识回顾： 1.幂函数
(1)定义:形如_____(α∈R)的函数叫幂函数,其中x是_______,α是常数. 2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下，幂函数
根据本图像完成下列表格 函数解析式 图像 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝??2 1
123
1
12
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝??2，y＝???1的图象与性质．
1
y＝???1
定义域 值域 奇偶性 单调性 3.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 4ac－b2???－∞，? 4a?? ?4ac－b2??，＋∞? ?4a?单调性 b－，＋∞?上单调递增 在x∈??2a?b－∞，－?上单调递减 在x∈?2a??b－∞，－?上单调递增 在x∈?2a??b－，＋∞?上单调递减 在x∈??2a?奇偶性 顶点 对称性 4.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 函数y＝f(x)对称轴的判断方法
当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 ?b4ac－b2??－，? 4a??2ab图象关于直线x＝－成轴对称图形 2a
2
x1＋x2(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称．
2(2)一般地，函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
限时训练(A组)
1．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.因为y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0 2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( ) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2 为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B. 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( ) 3 解析：选A.当0 A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2) 解析：选A.二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2. 当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)． 5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是( ) A．(－4，2) B．(－2，4) C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 解析：选C.依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x<－4. 6．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( ) 4 A．c 因为f(x)＝x3是定义在R上的增函数， 又－<0<<＝1 7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)>f(4)，则( ) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 解析：选B.若a＝0，f(x)不满足题意，所以a≠0，f(x)为二次函数． 因为f(1)＝f(3)，则x＝2为对称轴，故－＝2， 则4a＋b＝0， 又f(3)>f(4)，在(2，＋∞)上f(x)为减函数，所以开口向下，a<0. 故选B. 8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1) 解析：因为f(x)＝x＝(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时f(x)为减函数， 又f(a＋1) 9．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________． 5
专题08 幂函数与二次函数(解析版)2021年高考数学函数与导数大通关(新高考地区专用)
