2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第四章+第27讲 考点集训+Word
版含解析
考 点 集 训 【p200】
A组
1．下列命题正确的是( )
A．若a、b都是单位向量，则a＝b
→→
B．若AB＝DC，则四点A、B、C、D构成平行四边形
C．若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量 →→
D.AB与BA是两平行向量
【解析】A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对； B，A，B，C，D四点可能共线，故B不对；
C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；
→→
D，因AB与BA方向相反，是平行向量，故D对． 故选D. 【答案】D
→
2．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量OA平行的向量为( ) →→→→→A.AB＋AC B.AB＋BC＋CD →→→→→→C.AB＋AF＋CD D.AB＋CD＋DE
→→→→→→
【解析】因为AB＋BC＋CD＝AD＝2AO＝－2OA，故选B.
【答案】B
→→→
3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则( ) →→→→A.PA＋PB＝0 B.PC＋PA＝0 →→→→→C.PB＋PC＝0 D.PA＋PB＋PC＝0
→→→→→→
【解析】BC＋BA＝2BP，移项得BC＋BA－2BP＝0， →→→→→→
BC－BP＋BA－BP＝PC＋PA＝0.故选B. 【答案】B
→→→
4．已知向量e1、e2为不共线的单位向量，AB＝e1－ke2，CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，若A、B、D三点共线，则k的值为( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
→→→
【解析】BD＝CD－CB＝3e1－e2－2e1－e2＝e1－2e2.
→→
∵A、B、D三点共线，∴存在λ∈R，使AB＝λBD， 即e1－ke2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2， ?λ＝1，?∴?解得k＝2. ?－k＝－2λ，?
【答案】A
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→→
5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，→
则AD＝( )
11
A．a－b B.a－b
2211
C．a＋b D.a＋b
22
【解析】连接OC、OD、CD，由点C、D是半圆弧的三等分点，有∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且OA＝OC＝OD，则△OAC与△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以
→→→1→→1
四边形OACD为菱形，所以AD＝AO＋AC＝AB＋AC＝a＋b.
22
【答案】D
→→→
6．已知正方形ABCD的边长为1，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a－b＋c|＝________．
【解析】如图，a＋b＝c， 所以|a－b＋c|＝|2a|， 又|a|＝1，
所以有|a－b＋c|＝2，故答案为2. 【答案】2
→→→→→
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝4PA，则x＝________，y＝________．
→→→→→→
【解析】由BP＝4PA，得OP－OB＝4(OA－OP)， →4→1→即OP＝OA＋OB，
5541
所以x＝，y＝.
5541
【答案】
55
8．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等
→→
分点，且分别靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.
→→→
(1)试用a，b表示BC，AD，BE； (2)证明：B，E，F三点共线．
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→→→→→
【解析】(1)△ABC中，AB＝a，AC＝b，∴BC＝AC－AB＝b－a，
131→→→→1→
AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b，
4444
1→→→→1→
BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.
331231?111→→→→→2→
a＋b＝－a＋b＝(2)证明：BE＝－a＋b，BF＝BA＋AF＝－AB＋AD＝－a＋?333?44?262
?－a＋1b?，
3??
→1→→→
∴BF＝BE，∴BF与BE共线，且有公共点B，
2
∴B，E，F三点共线．
B组
→→→
1．如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是( ) A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
→＝→＝→＝r, 故选C.【答案】C 【解析】∵OBOCAO
||||||
→→→
2．如图，O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
→→→
【解析】∵D为AB的中点，∴OA＋OB＝2OD. →→→
∵OA＋OB＋2OC＝0， →→∴OC＝－OD.
∴O是CD的中点，
11
∴S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC，
24
故选B. 【答案】B
→→?ABAC?→→→＋3．已知△ABC中，D是BC边上的一点，AD＝λ?，|AB|＝2，|AC|＝4，若记?→→?|AB||AC|?
→→→
AB＝a，AC＝b，则用a，b表示BD所得的结果为( )
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1111A.a－b B.a－b 2233
1111C．－a＋b D.a＋b
3323
→→?ABAC?BDAB1→→1＋【解析】由AD＝λ?知AD是△ABC的角平分线，所以＝＝，所以BD＝?DCAC23→→?|AB||AC|?11→1→→
BC＝(AC－AB)＝－a＋b，故选C.
333【答案】C
4．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
→→→(1)求GA＋GB＋GO；
11→→→→
(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA＝a，OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝3.
mn
→→→→→
【解析】(1)因为GA＋GB＝2GM，又2GM＝－GO，
→→→→→
所以GA＋GB＋GO＝－GO＋GO＝0.
→1
(2)显然OM＝(a＋b)．
2
→2→1
因为G是△ABO的重心，所以OG＝OM＝(a＋b)．
33
→→
由P，G，Q三点共线，得PG∥GQ，
→→
所以有且只有一个实数λ，使PG＝λGQ.
11→→→1
－m?a＋b， 而PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝??3?33
111→→→
n－?b， GQ＝OQ－OG＝nb－(a＋b)＝－a＋?33?3?1111
－m?a＋b＝λ?－a＋?n－3?b?. 所以????3?3?3?
11－m＝－λ，33
又因为a，b不共线，所以
1?1?＝λn－，3?3?11
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.
mn
???
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