1.1.2 基本不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A．a＋b≥2ab
B.a＋bba≥2 C.??a＋b?ba???
≥2
D．a2
＋b2
＞2ab
解析：当a，b都是负数时，A不成立； 当a，b一正一负时，B不成立；
当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的． 答案：C
2．下列各式中，最小值等于2的是( )
A.xy＋yx B.x2＋5x2＋4
C．tan θ＋1
tan θ
D．2x＋2－x
解析：因为2x＞0，2－x＞0， 所以2x＋2－x≥22x2－x＝2.
当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立． 答案：D
3．已知5x＋3
y＝1(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是( )
A．15 B．6 C．60
D．1
解析：因为515
x＋3
y≥2
xy(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，所以2
15
xy≤1，所以xy≥60，
故xy的最小值为60. 答案：C
1
4．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( ) A．2 C．4
B．3 D．5
xyabxy11
解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.
abab又a，b均大于0，
ba?11?所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝1＋1＋＋≥2＋2
?ab?
abba·＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，ab等号成立．
所以a＋b的最小值为4. 答案：C 5．函数y＝
x2
x4＋9
(x≠0)的最大值及此时x的值为( )
1
B.，±3 61
D.，±3 6
1
2
1
A.，3 61
C.，－3 6解析：y＝
＝x＋9
4
x2
x＋2
xx2·2＝6，所以y≤，
x6
9
1
9
(x≠0)，
92
因为x＋2≥2
x912
当且仅当x＝2，即x＝±3时，ymax＝.
x6答案：B 二、填空题
1
6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．
x1??解析：y＝3－?3x＋?≤3－23，
?x?
13
当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．
x3所以ymax＝3－23. 答案：3－23
7．已知x＋3y－2＝0，则3＋27＋1的最小值是________． 解析：3＋27＋1＝3＋3＋1≥23·3＋1＝23
xyx3yxyx3yx＋3y＋1＝7，当且仅当x＝3y，即x 2
1
＝1，y＝时，等号成立．
3
答案：7
11
8．已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为________．
xy解析：因为lg x＋lg y＝2，
所以x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，所以xy＝10， 11所以＋≥2
2
xy1
＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立． xy5
1
1答案：
5三、解答题
1
9．已知x＜0，求2x＋的最大值．
x解：由x＜0，得－x＞0， 1
得－2x＋≥2
－x（－2x）?
?1?＝22，
??－x?
1
所以2x＋≤－22，
x当且仅当－2x＝即x＝－
1， －x2
时等号成立． 2
1
故2x＋取得最大值－22.
x10．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg ＋lg c.
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以
a＋b2
＋lg
b＋c2
＋lg
c＋a2
＞lg a＋lg ba＋b2
≥ab＞0，
b＋c2
≥bc＞0，
c＋a2
≥ac＞0.
且上述三个不等式中等号不能同时成立． 所以
a＋bb＋cc＋a2·2·22
＞abc. ＋lg
所以lg
a＋b2
＋lg
b＋cc＋a2
＞lg a＋lg b＋lg c. B级 能力提升
1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货
3
物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处
D．2千米处
解析：由已知：y＝20
1x，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y201＋y2＝0.8x＋
≥2
0.8x·20
xx＝8.
当且仅当0.8x＝20
x，即x＝5时等号成立．
答案：A
a4＋4b42．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab＞0，则＋1
ab的最小值为________．
解析：因为a，b∈R，ab＞0，
所以a4＋4b4＋14a2b2＋11ab≥ab＝4ab＋ab≥2
4ab·
1
ab＝4，
?a2＝2b2，
?2
2
当且仅当?
??a＝2，时取得等号． ??4ab＝1即ab，???b2
＝24
故a4＋4b4＋1ab的最小值为4.
答案：4
3．若对任意x＞0，
xx2＋3x＋1
≤a恒成立，求实数a的取值范围．
解：由x＞0，知原不等式等价于0＜1a≤x2
＋3x＋1x＝x＋1
x＋3恒成立．
又x＞0时，x＋1
x≥2
x·1
x＝2，
所以x＋1
x＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．
因此??1?
x＋x＋3??
?min
＝5，
从而0＜1a≤5，解得a≥15
. 故实数a的取值范围为??1?5，＋∞???
.
4
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.2 基本不等式高效演练 新人教A版选修45
