当时，，
不等式恒成立等价于且恒成立， 由恒成立，得恒成立， 当时，，，
， ……………………………………………12分 又当时，由恒成立，得，
因此，实数的取值范围是． …………………………………14分 方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图）， 的图像过点时，或， 要使不等式对恒成立，
必须， …………………………………12分 又当函数有意义时，， 当时，由恒成立，得，
因此，实数的取值范围是． …………………………………14分 方法三：， 的定义域是， 要使恒有意义，必须恒成立，
，，即或． ………………① …………………12分 由得， 即对恒成立， 令，的对称轴为， 则有或或
解得． ………………②
综合①、②，实数的取值范围是． …………………………………14分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分）
已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）． （1）求数列的通项； （2）设，，求证：， ． 解：（1），
，即． …………………………………3分 令，则，，
因此，数列是首项为，公差为的等差数列．
， …………………………………5分 ． …………………………………6分 （2）（方法一）先证明当时，． 设，则， 当时，，
在上是增函数，则当时，，即．………8分 因此，当时，，， …………9分 当时，，． …………………10分 ．
…………………………12分
．
………………………14分
（方法二）数学归纳法证明 （1），，当时，成立；
，， 又，，
当时，成立． ……………………………………………8分 （2）设时命题成立，即，， 当时，，
要证， 即证，
化简，即证． …………………………9分 设，则， 当时，，
在上是增函数，则当时，，即．
因此，不等式成立，即当时成立． …………………11分 当时，，
要证， 即证，
化简，即证．
根据前面的证明，不等式成立，则时成立．
由数学归纳法可知，当时，不等式，成立．……………14分
【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．
高三下学期数学（理）试题试题
