2012年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
1 A 2 A 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D 二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．
9． ； 10． ； 11．； 12．； 13．； 14．； 15．． 三、解答题
16．（本小题满分12分）
已知函数，（其中），其部分图像如图所示． (1) 求函数的解析式；
(2) 已知横坐标分别为、、的三点、 、都在函数的图像上，求 的值．
解：（1）由图可知， ， ………………………………………………………1分
最小正周期
所以 …………………………………3分
又 ，且 所以， …………………5分
所以． ……………………6分 (2) 解法一: 因为 ，
所以， ………………………………………………8分 ，
从而， ………………………………………………10分 由，得. …………………12分 解法二: 因为
，
所以， ………………………………………………8分 ,, ,
则. ………………………10分 由，得. ……………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力．
17．（本小题满分13分）
随机调查某社区个人，以研究这一社区居民在时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表： 性别 休闲方式 看电视 看书 合计 男 女 合计 （1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查名在该社区的男性，设调查的人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量，求的分布列和期望；
（2）根据以上数据，能否有%的把握认为“在时间段的休闲方式与性别有关系”？ 参考公式： ，其中． 参考数据： 解：（1）依题意，随机变量的取值为：，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为． …………………………………………2分
方法一：，，
……………6分 ，．
的分布列为: ． ……………………………8分 方法二：根据题意可得， ……………………………………4分 ，． ……………………………………6分
． …………………………………………8分
(2) 提出假设：休闲方式与性别无关系．
根据样本提供的列联表得
．
因为当成立时，的概率约为，所以我们有%的把握认为“在时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分
【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．
18．（本小题满分13分）
如图，平行四边形中，，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．
（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？ （2）当时，求的大小．
解：（1）由题知为在平面上的射影，
∵，平面，∴，
∴， ………………………2分
………………4分
， ……………………5分
当且仅当，即时取等号，
∴当时，三棱锥的体积最大，最大值为． …………6分 (2)(法一)连接， ……………………7分
C
∵平面，， ∴平面，
∴， ………………………9分 ∴， 故，
∴， ………………11分 ∴，
∴， …………………………………………………12分 在中，，得．…………………13分 (法二) 过作于，则为矩形， 以为原点，，，所在直线分别为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，
， ………9分
于是，， ……………10分 由，得，
∴， ……………………12分
得，又为锐角，∴ ． ………………………………13分 A 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，E B 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． x
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点． （1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆的方程；
（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值． 解：（1）依题意，得，， ；
故椭圆的方程为 ． ………………………………………3分 （2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设．
由于点在椭圆上，所以． （*） ……………………4分 由已知，则，，
． ……………………………………6分
由于，故当时，取得最小值为．
O D y A
z C B O D
由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．
故圆的方程为：． ……………………8分 方法二：点与点关于轴对称，故设， 不妨设，由已知，则
． ……………………………………………………6分
故当时，取得最小值为，此时， 又点在圆上，代入圆的方程得到．
故圆的方程为：． ……………………8分 (3) 方法一：设，则直线的方程为：，
令，得， 同理：， ……………………10分
故 （**） ……………………11分 又点与点在椭圆上，故，，……………………12分 代入（**）式，得： ．
所以为定值． ……………………14分 方法二：设，不妨设，，其中．则直线的方程为：， 令，得，
同理：， …………………………12分 故．
所以为定值． ……………………14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分）
已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足． （1）求；
（2）设，，求函数在上的最大值；
（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）， ………………………………1分 ，函数的图像关于直线对称，则．……2分 直线与轴的交点为， ，且， 即，且，
解得，． …………………………………………4分 则． …………………………………………5分 （2），
………………………………………7分 其图像如图所示． 当时，，根据图像得： （ⅰ）当时，最大值为； （ⅱ）当时，最大值为；
（ⅲ）当时，最大值为． …………………………………10分 （3）方法一：， ，，
高三下学期数学（理）试题试题
