自我小测
1．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF?DB＝( )
A．FD B．FC C．FE D．DF 2．下列等式中正确的个数是( )
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b. A．2 B．3 C．4 D．5 3．两个不相等的向量a－b与b－a的( ) A．模相等，方向相反 B．模相等，方向相同 C．仅方向相反 D．仅模相等
4．下列式子不能化简为AD的是( ) A．(AB?CD)?BC B．(AD?MB)?(BC?CM) C．MB?AD?BM D．DC?DA?CD
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且OA，OB，OC，OD满足等式
OA?OC=OB?OD，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．等腰梯形
6．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__________，|a－b|的最大值为__________．
解析：当a与b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||. 当a与b共线且反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|.
当a与b不共线时，||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，
因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4； 当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20. 7．如图，在
ABCD中，E是CD的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于__________．
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，AC＝c，则|a－b＋c|＝__________.
9．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点， 求证：AB?EF=EF?DC.
π
10．已知OA＝a，OB＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，求|a＋b|，|a－b|.
3
参考答案
1．解析：AF?DB=AF?AD=DF. 答案：D
2．解析：①②③⑤正确． 答案：C
3．解析：设OA＝a，OB＝b，则a－b＝OA－OB＝BA，b－a＝OB－OA＝AB，显然BA和AB是一对相反向量．
答案：A
4．解析：(AB?CD)?BC=(AB?BC)?CD=AC?CD=AD；
(AD?MB)?(BC?CM)=(AD?MB)?BM?AD；
MB?AD?BM=2MB?AD?AD； DC?DA?CD=?DA=AD.
答案：C
5．解析：∵OA?OB=BA，OD?OC=CD， 而OA?OC=OB?OD， ∴OA?OB=OD?OC， ∴BA=CD，
即AB∥CD，且AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 答案：A 6．4 20
11
7．解析：BE＝(BC＋BD)＝[b＋(AD－AB)]
2211
＝(b＋b－a)＝b－a. 221答案：b－a
2
8．解析：因为a－b＝AB?AD=DB，过B作BM=AC＝c，连接CM，则
DM=DB?BM＝a－b＋c.
因为AC⊥BD，且|AC|=|DB|＝2， 所以DB⊥BM，|AC|=|BM|＝2， 所以|DM|＝2，即|a－b＋c|＝2. 答案：2
9．证明：如图所示，在四边形CDEF中，
EF=ED?DC?CF.①
在四边形ABFE中，
EF=EA?AB?BF.②
①＋②，得
EF?EF=CE?DC?ED?BF?AB?EA
＝(CF?BF)?(ED?EA)?(AB?DC)． ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴ED?EA=0，CF?BF=0， ∴EF?EF=AB?DC， 即AB?EF=EF?DC.
10．解：以OA，OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA，
由向量的三角形法则和平行四边形法则， 可得a＋b＝OC，a－b＝BA. 又∵|a|＝|b|，
∴平行四边形OBCA为菱形， ∴|a＋b|＝|OC|＝2|OM|＝23， |a－b|＝|BA|＝2.
数学北师大必修自我小测：从位移的合成到向量的加法第课时 含解析
