4.求解下列线性方程组的一般解：
?2x3?x4?0?x1?（1）??x1?x2?3x3?2x4?0
?2x?x?5x?3x?0234?12?1?2?1??10?10?2???1??1???3???1????2????3???2??1???解：A=?11?32?????01?11??????????2?15?3???0?11?1???102?1??01?11? ???0??000?所以一般解为
??x1??2x3?x4?x 其中x3,x4是自由未知量。 2?x3?x4
?2x1?x2?x3?x4?1（2）??x1?2x2?x3?4x4?2
??x1?7x2?4x3?11x4?5??解：A??2?1111?12?1???1?,?2???12?142??2???1????2??12?42?????2?1111????3????1?????1???0?7?4115??1???17?4115????5????05??12?142????3????2???1??????12???12?142???1???373???0?53?7?3???????5???01??1???2????2???00000???555???????0?00000????0?????x?416?秩?A?=2，所以方程组有解，一般解为?1?5?5x3?因为秩A5x4?337
?x2?5?5x3?5x4其中x3,x4是自由未知量。
5.当?为何值时，线性方程组
??x1?x2?5x3?4x4?2??2x1?x2?3x3?x4?1xx ?31?2x2?23?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。
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?142?3?7?3?
?373???0164?5355?1?73?005505?0???? ??1?1?542???2???1????2???1?1?542?解：A??2?13?11?3???1????3?4???1??????0113?9?3??3?2?233???????3???13?9?3?? ?7?5?910????01?0226?18??14????1?1?542????108?5?1?3???2???1?????????2?????2???0113?9?3?4?????1???2??1?0113?9?3??00000?????0000??8???00000?? ?0000??8?? 可见当??8时，方程组有解，其一般解为
??x1??1?8x3?5x43?13x ?x其中x3,x4是自由未知量。
2??3?9x4
6．a,b为何值时，方程组
??x1?x2?x3?1?x1?x2?2x3?2 ??x1?3x2?ax3?b有唯一解、无穷多解或无解。
?1?1?11??2???1???1??1?1?11?解： A???3???1????11?22??????1?????11????3????2?????2???1?1?02??13ab???02???04a?1b?1?????00根据方程组解的判定定理可知：
当a??3，且b?3时，秩?A?<秩?A?，方程组无解；
当a??3，且b?3时，秩?A?=秩?A?=2<3，方程组有无穷多解； 当a??3时，秩?A?=秩?A?=3，方程组有唯一解。
7．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q2?6q（万元）, 求：①当q?10时的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量q为多少时，平均成本最小？ 解:
① c?q??100q?0.25q?6 c??q??0.5q?6
当q?10时
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?11??11?a?3b?3???
总成本：c?10??100?0.25?10?6?10?185（万元）
2平均成本：c?10??100?0.25?10?6?18.5（万元） 10边际成本：c??10??0.5?10?6?11（万元） ②c??q???100?0.25 q2 令 c??q??0得 q1?20
q2??20（舍去）
由实际问题可知，当q=20时平均成本最小。
（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)?20?4q?0.01q（元），单位销售价格为p?14?0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 解: R?q??pq?14q?0.01q
22 L?q??R?q??C?q?
?14q?0.01q?20?4q?0.01q ?10q?0.02q?20 L??q??10?0.04q
令L??q??0， 解得：q?250（件）
L?250??10?250?0.02?250?20?1230（元）
222?2?
因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。所以当产量为250件时利润达到最大值1230元。
（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)?2x?40(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解: ?c?2???2x?40dx?x?40x??466?100 （万元） 42 c?x??c??x?dx????2x?40?dx?x?40x?c
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∵固定成本为36万元 ∴c?x??x?40x?36
2c?x??x?40?c??x??1?36 x36 x2令c??x??0 解得：x1?6,x2??6（舍去）
因为只有一个驻点，由实际问题可知c?x?有最小值，故知当产量为6百台时平均成本最低。
（4）已知某产品的边际成本C?(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收入
R?(q)?12?0.02q，求：
①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解: L??x??R??x??C??x???12?0.02x??2?10?0.02x
令L??x??0 解得：x?500（件）
?L???10?0.02x?dx??10x?0.01x2?500550550 5002 ?10?550?0.01?550?2???10?500?0.01?500?
=2470-2500=-25（元）
当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会减少25元。
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经济数学基础形成性考核册作业答案--电大专科形考答案
