?2?532?5?8545．求矩阵A???1?742??4?112?2?532?5?854解： A???1?742??4?1121?3??的秩。 0??3??1?742?5?854??2?532??4?1120??2???1????5??3???1????2?3?4???1????4???????? 1??3?0?1?? 0??0?1?3??1?,?3????????0??3?420??2???3????3??1?7?027?15?63??4???3????3???2?,?3????????→??09?5?21???027?15?63??∴r(A)?2。 6．求下列矩阵的逆矩阵：
2?1?74?09?5?2??0000?00?00?1?32???
1（1）A??30???1?1??1??1?32100??2???1??3??3???1????1???????1010解：?AI???30???1?1001??1?100??3???2??4?1?32?0?11????2????1????112????04?3?101??100??1?32?0?97????2???3??2??? 310????04?3?101??00??1???3????2??1?321?01?1?1?1?2????2???3??1???
???1349??00??100113??010237? ????001349??A?1?113??
??237????349???1?30?5?8?18??0102????1???2??3???37???49??0013???13?6?3???（2）A =?4?2?1． ???11??2? ∴
01?30???13?6?3100???10???1???2????3???解：?AI???4?2?1010??????4?2?1010→ ??????11001?11001??2??2? 11
0?130??10?2?,?3????????0?2?1?4130?????????12?61??01??2???1????4??3???1??2?1????1?0?130??10?01?→
12?61????0?2?1?4130??0??100?130??100?133???2??22???3????1????????0112?61????????0102?7?1?
??????12?12??0010??0010???130?∴A-1 =??2?7?1? ?0??12??7．设矩阵A?22??1??35??,B??1???23??，求解矩阵方程XA?B． 解：?AI????1210??3501?????2????1?????3????1210??1???2??2?2????1??1?0?1?31?????????0 ∴
A?1????52?1 ?3???∴
X?BA?1???12?????52???23??3?1? ?=
?10???11?? 四、证明题
1．试证：若B1,B2都与A可交换，则B1?B2，B1B2也与A可交换。 证：∵B1A?AB1， B2A?AB2
∴?B1?B2?A?B1A?B2A?AB1?AB2?A?B1?B2? 即 B1?B2也与A可交换。
?B1B2?A?B1?B2A??B1?AB2???B1A?B2?A?B1B2? 即 B1B2也与A可交换.
2．试证：对于任意方阵A，A?AT，AAT,ATA是对称矩阵。
证：∵?A?AT?T?AT??AT?T?AT?A?A?AT
∴A?AT是对称矩阵。 ∵(AAT)T=?AT?T?AT?AAT
12
0?52?13?1?? ∴AAT是对称矩阵。 ∵ATA??T?AT?AT??T?ATA
∴ATA是对称矩阵.
3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。 证： 必要性：
∵AT?A ， BT?B 若AB是对称矩阵，即?AB??AB
T而?AB??BA?BA 因此AB?BA
TT充分性：
TT若AB?BA，则?AB??BA?BA?AB
T∴AB是对称矩阵.
4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 证：∵A?A BT?1?1?BT，证明B?1AB是对称矩阵。
?BT
?1T?B
?1AB?1???AB???B?TT?BT?AT?BT??T?B?1AB
∴BAB是对称矩阵. 证毕.
《经济数学基础》形成性考核册（四）
（一）填空题 1.函数f(x)?4?x?21_________。答案：(1,2)??2,4?. 的定义域为__________ln(x?1)2. 函数y?3(x?1)的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点。答案：x=1；（1，0）；小。 3.设某商品的需求函数为q(p)?10e1D??1?11111?____________?1A???0??01?p2，则需求弹性Ep? .答案：Ep=?p 24.行列式.答案：4.
?116?，则t__________时，方程组有唯一解. 答案：t?132??0t?10??13
5. 设线性方程组AX?b，且
1??1.
（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x 2. 设f(x)?1，则f(f(x))?（ C ）． x112A． B．2 C．x D．x
xxx?x1e?e11ex?e?xdx?0 B．?dx?0 C．?xsinxdx?0 D．?(x2?x3)dx?0 A．??1?1-1-12213. 下列积分计算正确的是（ A ）．
4. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．
A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n
?x1?x2?a1?5. 设线性方程组?x2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．
?x?2x?x?a233?1A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0
三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y??e解:
x?y
dy?ex?ey , e?ydy?exdx ?e?ydy??exdx , ?e?y?ex?c dxdyxex（2）?2
dx3y解: 3ydy?xedx
2x?3y2dy??xdex y3?xex??exdx y3?xex?ex?c
2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y??解:y?e2y?(x?1)3 x?1?2??3?x?1dx???x?1?e??e2ln?x?1?dx?c?????2?????dx?x?1?????x?1?e3?2ln?x?1?dx?c??x?1??2???x?1?dx?c?
??x?1??2?1?x?1?2?c?? ?2? 14
（2）y??解:y?ey?2xsin2x x??1??????dx??2xsin2x?e?x?dx?c??elnx??????1?????dx?x???2xsin2x?e?lnxdx?c
?1???x??2xsin2x?dx?c??x?sin2xd2x?c ?x??cos2x?c?
x??3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y??e2x?y??,y(0)?0
dye2x?解： dxey
y2xedy?e??dx y e?12xe?c 2 用x?0,y?0代入上式得：
101e?c， 解得c? 2212x1y ∴特解为：e?e?
22 e?0 (2)xy??y?e?0,y(1)?0 解：y??x11y?ex xx?11xdx?e?xdx??x?dx?c? y?e??x?e?
?? ?e?lnx?1xlnx????e?edx?c? ?x?xx ?1x??edx?c??1?ex?c
? 用x?1,y?0代入上式得： 0?e?c 解得：c??e ∴特解为：y?1xe?c x??（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）
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经济数学基础形成性考核册作业答案--电大专科形考答案
